Funkcja kwadratowa wzory

Funkcja kwadratowa, wzory na deltę, wzory Viete’a brzmią trudno? Mam nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu będzie to dla ciebie pestka.

Zacznijmy od zadania sobie pytania, czym jest funkcja kwadratowa oraz jakie elementy mogą wystąpić w jej wzorze. Przede wszystkim funkcja kwadratowa jest funkcją, w której znajdziemy x w drugiej potędze. Ponadto, do wzoru funkcji może być jeszcze „sam” x (x w pierwszej potędze) oraz wyraz wolny, który jest dowolną liczbą rzeczywistą. Każdy z elementów funkcji jest nazywany odpowiednio współczynnikiem a, b oraz c. Ogólny wzór funkcji kwadratowej wygląda więc następująco: , oczywiście aby funkcja była funkcją kwadratową, współczynnik a musi być różny od zera. Powyższy wzór stanowi jedną z trzech postaci funkcji kwadratowej. W tej postaci od razu na pierwszy rzut oka widzimy współczynniki, które na pewno wykorzystujemy przy wielu obliczeniach. Ponadto, warto tutaj wspomnieć o tym, co mówi nam współczynnik a. Dzięki określenia czy jest on dodatni czy też ujemny możemy powiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Jeśli są one skierowane do góry, to współczynnik a jest dodatni. Gdy jest ujemny, parabola ma skierowane ramiona w dół.

Kolejną postać funkcji kwadratowej nazywamy postacią kanoniczną. Najłatwiej zapamiętać sobie, że dzięki tej postaci widzimy wektor przesunięcia wykresu. Ta postać wygląda następująco: . Czy literki p i q coś ci mówią? Jeśli przerabiałeś/przerabiałaś juz w szkole średniej związany z wektorami oraz przekształceniami funkcji, to pewnie pamiętasz, że wektor przesunięcia wykresów oznacza się wektorem: [p, q]. Tak samo jest i w przypadku postaci kanonicznej. Aby obliczyć współrzędne końca wektora przesunięcia wykresu i tym samym współrzędne wierzchołka paraboli, która stanowi wykres funkcji kwadratowej, wystarczy obliczyć je z poniższych wzorów. Współrzędna x-owa to nic innego jak p, które oblicza się ze wzoru: . Współrzędną y-ową obliczamy ze wzoru na q, a więc: . Z pomocą tych wzorów zawsze nie będziemy mieli problemów ze znalezieniem współrzędnych wierzchołka wykresu.

Ostatnią postacią funkcji kwadratowej jest postać iloczynowa. Przed przystąpieniem do omawiania jej konieczne jest wprowadzenie jeszcze kilku wzorów. Aby rozwiązać każde równanie kwadratowe, możemy użyć wzoru, który pozwala nam obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego. Innymi słowy, dzięki wzorze na deltę możemy rozwiązać równanie kwadratowe. Aby rozwiązać równanie kwadratowe, a więc podać miejsca zerowe lub ich brak, (co jest równoważne z brakiem rozwiązań funkcji kwadratowej) najczęściej użyjemy tego wzoru: . W zależności od tego ile wynosi Δ, taką ilość rozwiązań ma równanie.
Brak rozwiązań równania następuje, gdy Δ<0, a więc gdy delta jest ujemna.
Jedno rozwiązanie równania następuje, gdy Δ=0. Aby obliczyć te rozwiązania można użyć wzoru:
W ostatnim przypadku, gdy Δ>0, a więc gdy delta jest większa od zera, są dwa rozwiązania, a więc dwa miejsca zerowe. Aby obliczyć takie miejsca zerowe najlepiej użyć po prostu poniższych wzorów: oraz
Oczywiście, zawsze mamy jeszcze możliwość przyrównania równania do zera, a więc będzie to wyglądało następująco: 0=…. W takim momencie również otrzymamy istniejące rozwiązania.

Skoro juz wiemy jak otrzymywać rozwiązania równania, możemy zająć się ponownie funkcją kwadratową postaci iloczynowej.
Gdy Δ jest dodatnia, a więc gdy mamy dwa rozwiązania, postać ta wygląda następująco: .
Jeśli jednak następuje drugi przypadek, w którym mamy tylko jedno miejsce zerowe, postać iloczynowa wygląda bardzo podobnie. Jest to postać: .
Teraz powiemy sobie o przypadku, w którym nie ma miejsc zerowych. Jak już się pewnie domyślasz, w przypadku ujemnej delty, a więc braku rozwiązań funkcja kwadratowa nie ma postaci iloczynowej.

Jeśli już mówimy o miejscach zerowych, to warto wspomnieć tutaj o bardzo przydatnych w wielu zadaniach wzorów, które możemy użyć tylko w wypadku, gdy funkcja posiada dwa rozwiązania. Te wzory są nazywane wzorami Viete’a. Dzięki tym wzorom bez problemu mając postać ogólną, możemy obliczyć sumę oraz iloczyn miejsc zerowych.

Spróbujmy wyprowadzić sobie te dwa wzory. Zacznijmy od sumy miejsc zerowych. Wiemy już, jak wyglądają wzory na miejsca zerowe. Sumujemy je, a następnie upraszczamy.

Teraz czas na iloczyn miejsc zerowych. Mnożymy miejsca zerowe. Następnie podnosimy do kwadratu. W trzecim od końca przejściu pod Δ podstawiamy jej rozwinięcie, otrzymując tym samym gotowy wzór.

Skoro już znamy wszystkie wzory, czas przejść do rozwiązywania zadań.

Zadanie
Przedstaw podaną funkcję w postaci kanonicznej i iloczynowej.

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wypisania sobie współczynników:
a=1
b=5
c=-6

Aby przedstawić tę funkcję w postaci iloczynowej, będziemy potrzebować miejsc zerowych, a więc będziemy musieli policzyć deltę.
Aby przedstawić tę funkcję w postaci kanonicznej będziemy potrzebowali wektor przesunięcia wykresu [p,q].

Postać iloczynowa będzie więc wyglądać następująco:

Teraz czas na postać kanoniczną

W takim razie podstawiamy obliczone wartości do wzoru:

Zadanie
Dla jakiej wartości parametru m, liczba x=2 jest mniejszym miejscem zerowym dla funkcji

x=2 W takim razie, możemy tę dwójkę (miejsce zerowe) podstawić do wyjściowego równania, otrzymując tym samym prawidłową wartość parametru.

Zadanie
Mając podaną funkcję, odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli.

Jak wiesz, we wzorze na tę postać mamy podane, że (x-p). Dlatego też odczytując te współrzędne musisz zwrócić szczególną uwagę na znaki.

W naszym przypadku p=-4 oraz q=-3. Współrzędne wierzchołka paraboli są zatem punktem W(-4, -3).

Zadanie
Na podstawie podanej funkcji podaj sumę miejsc zerowych, iloczyn miejsc zerowych oraz wypisz współczynniki.

a=1
b=5
c=6

Suma miejsc zerowych to: =-5
Iloczyn miejsc zerowych :