Funkcja liniowa

Czym jest funkcja liniowa?
Funkcja liniowa to funkcja, którą opisuje wzór: . Jej wykresem jest prosta. Współczynnik jest współczynnikiem kierunkowym. Decyduje on o nachyleniu prostej. Współczynnik jest wyrazem wolnym. Decyduje o miejscu przecięcia wykresu funkcji z osią . Ponieważ przez dwa różne punkty może przechodzić tylko jedna prosta, to wystarczy wyznaczyć dwa punkty aby narysować wykres funkcji liniowej. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Zauważmy zależność
Dla argumentu :

Dla argumentu :

Zatem punkty oraz należą do wykresu funkcji liniowej i prosta wykresu funkcji przecina oś w punkcie
Zadanie 1.
W całym zadaniu 1 korzystamy z tych samych wykresów i wzorów funkcji.
Zadanie 1.1
Naszkicujmy kilka wykresów funkcji liniowej:
a)

Na podstawie wykresu wiemy, że do tej prostej należą punkty o współrzędnych: oraz , a prosta poprowadzona przez te dwa punkty musi być opisana wzorem .
b)

Z wykresu możemy odczytać, że należą do niego punkty o współrzędnych: oraz , a prosta, do której należą podane dwa punkty nie może mieć innego wzoru niż .
c)

Odczytując wartości z wykresu mamy następujący wniosek:
Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych: oraz , a także prosta przechodząca przez te dwa punkty ma wzór .
Zadanie 1.2
Policzmy teraz różnice wartości, którą przyjmują funkcje dla argumentów oraz . Wykonajmy działanie: .
a)
b)
c)
Wniosek: Każda liczba będąca różnicą wartości dla argumentów oraz jest taka sama jak współczynnik kierunkowy określonej funkcji liniowej.
Poniżej obliczenia na wzorze:

Zadanie 1.3
a) Zauważmy, że wartości rosną wraz ze wzrostem argumentów, a więc funkcja jest rosnąca.
b) Z wykresu odczytujemy, że gdy argumenty rosną, to wartości maleją, zatem funkcja jest malejąca.
c) Prosta będąca wykresem funkcji podczas wzrostu argumentów nie zmienia wartości, czyli jest funkcją stałą. Tym samym ta prosta jest równoległa do osi .
Wniosek:
Gdy > , to funkcja jest rosnąca
Gdy < , to funkcja jest malejąca
Gdy , to funkcja jest stała
Zadanie 2.
Wyznaczanie niewiadomej za pomocą wzoru funkcji liniowej.
Mamy wzór funkcji: oraz informację, że ta funkcja jest malejąca. Wyznaczymy wartość .
Ponieważ funkcja jest malejąca, to współczynnik musi być mniejszy od zera. Zatem:
<
>
Podajemy odpowiedź: funkcja jest malejąca tylko wtedy, gdy .

W jakich ćwiartkach układu współrzędnych znajdują się wykresy funkcji o poszczególnych współczynnikach?
1.Funkcja rosnąca ( > )
1.1 >
Wykres funkcji przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
1.2
Wykres funkcji przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
1.3 <
Wykres funkcji przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
2.Funkcja malejąca ( < )
2.1 >
Wykres przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
2.2
Wykres przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
2.3 <
Wykres przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
3.Funkcja stała
3.1 >
Wykres przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.
3.2
Wykres pokrywa się z osią .
3.3 <
Wykres przechodzi przez oraz ćwiartkę układu współrzędnych.

Czym jest miejsce zerowe funkcji liniowej?
Miejsce zerowe funkcji liniowej jest punktem, w którym funkcja osiąga wartość , tzn. wykres funkcji przecina się z osią .
Za pomocą wzoru funkcji wyznaczmy wzór na miejsce zerowe.

Za podstawmy , ponieważ taką wartość ma osiągnąć funkcja.



Zatem współrzędne miejsca zerowego to .
Są jednak warunki istnienia miejsca zerowego:
a) Jeśli ≠ , to funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe.
b) Jeśli i ≠ , to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych.
c) Jeśli , to funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Zadanie 3.
Wyznacz współczynniki i funkcji liniowej jeśli wiemy, że wykres przecina osie w punktach oraz .
Ponieważ mamy współrzędne punktu, w którym wykres funkcji przecina oś , to znamy współczynnik . Argument dla miejsca zerowego jest równy . Korzystamy ze wzoru na miejsce zerowe:


Współczynniki to: , .
Zadanie 4.
Wyznaczanie niewiadomej za pomocą wzoru funkcji zerowej oraz miejsc zerowych.
Mamy wzór: oraz funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Wyznaczymy . Aby funkcja miała nieskończenie wiele miejsc zerowych, to i .
i

Odp. Funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy .

Kiedy dwie proste są równoległe, a kiedy prostopadłe?
Dwie proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są sobie równe. Dwie proste są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi . Przykłady:
a) prosta równoległa do prostej to np.
b) prosta prostopadła do prostej to np.

Równanie liniowe z jedną niewiadomą
Jest to równanie funkcji liniowej, gdzie jest niewiadomą, a współczynniki i danymi liczbami rzeczywistymi.
Aby rozwiązać równanie musimy znaleźć liczbę rozwiązań. Jest kilka zasad:
a) Równanie ma jedno rozwiązanie gdy ≠ .
b) Równanie jest tożsamościowe (ma nieskończenie wiele rozwiązań) gdy i .
c) Równanie jest sprzeczne gdy i ≠ .
Zadanie 5.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma jedno rozwiązanie. Każda funkcja liniowa będzie miała jedno miejsce zerowe, gdy współczynnik nie jest zerem.

≠

Zadanie 6.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie jest sprzeczne.




Zadanie 7.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie jest tożsamościowe.

Jak rozwiązać równania i nierówności z wartością bezwzględną?
Przy każdej wartości bezwzględnej musimy wziąć pod uwagę przypadki.
Zadanie 8.
Rozwiąż poniższe równania:
a)
Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych. Rozpisujemy wartość bezwzględną na dwa przypadki:



Równanie ma dwa różne rozwiązania: oraz .
b)
Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych. Rozpisujemy pierwszą wartość bezwzględną na dwa przypadki:

Wyrażenie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna nie może być liczbą ujemną, więc nie bierzemy go pod uwagę. Przenosimy wszystkie wyrazy na drugą stronę tak, aby po lewej stronie została tylko wartość bezwzględna.

Rozpisujemy wartość bezwzględną na dwa przypadki:

Obliczamy :


To równanie ma dwa rozwiązania: oraz .
Zadanie 9.
Rozwiąż poniższe nierówności:
a) >
Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Pozbywamy się wartości bezwzględnej i wyrażenie w niej rozpisujemy na dwa przypadki:
> <
> <
> <
Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest:

b)
Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Odczytujemy z powyższego wzoru wartości, dla których przynajmniej jedna z wartości bezwzględnych jest równa zero. Rysujemy pomocniczy wykres, który pokaże nam jakie znaki mogą wystąpić przy wartościach bezwzględnych:

Aby narysować taki wykres musimy znać punkty, dla których wartości bezwzględne są równe zero. Zaznaczamy je na osi, po czym robimy wykres obrazujący, jaki znak będzie istniał po pozbyciu się wartości bezwzględnych w danym przypadku. W powyższym przykładzie mamy 3 możliwości.
Uważamy, żeby nie pomylić znaków przy wartościach bezwzględnych. Przenosimy wszystkie wartości bezwzględne na jedną stronę:

Równanie możemy rozpisać na przypadki:
1) W pierwszym przypadku obie wartości bezwzględne mają przed sobą minus, ponieważ .





2)W drugim przypadku tylko pierwsza wartość bezwzględna ma przed sobą minus, ponieważ [).





3) W trzecim przypadku żadna z wartości bezwzględnych nie ma przed sobą minusa, ponieważ [).




Po obliczeniu poszczególnych przypadków wyznaczamy część wspólną wszystkich powstałych przedziałów. Częścią wspólną przedziałów jest:

Podajemy odpowiedź:
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział .

Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi – czym są?
Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi można opisać następującym wzorem: , gdzie niewiadomymi jest oraz , a liczby i nie mogą być jednocześnie równe zero. Liczby oraz są liczbami rzeczywistymi i są nazywane współczynnikami równania.
Z czego składa się wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi?
Wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi składa się ze wszystkich punktów, których współrzędne spełniają to równanie.
Jak wygląda wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi?
Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.
Przykładowe równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:
.
W tym wzorze mamy dane:

Jeżeli za nasze niewiadome podstawimy liczby oraz , to tylko jedna kombinacja sprawi, że otrzymamy zdanie prawdziwe. Podstawiając za oraz za będziemy mieć następujące równanie:


Zdanie jest prawdziwe. Jeśli jednak podstawimy za oraz za otrzymamy wyrażenie:


To równanie jest sprzeczne. To równanie jednak nie ma tylko jednego rozwiązania, jest ich więcej. Aby je wyznaczyć potrzebujemy innej postaci powyższego równania. Spróbujmy z jej wzoru wyznaczyć :



Korzystając z tej postaci jesteśmy w stanie wyznaczyć inne rozwiązania równania, jednak nie jest to najlepsza metoda, bo mimo że można za podstawić dowolną liczbę rzeczywistą i obliczyć , to takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, a więc o wiele lepiej w takiej sytuacji posłużyć się wykresem w celu wyznaczenia rozwiązań równania. Wszystkie pary liczb mające postać , gdzie możemy określić wszystkimi rozwiązaniami powyższego równania.
Aby móc odczytać wszystkie rozwiązania tego równania ryzujemy wykres opierając się na wzorze: .

Zadanie 10.
Naszkicuj wykresy równań:
a)
Zauważmy, że jest równa zero dla każdej liczby , więc równanie ma postać: , tym samym . Narysujmy wykres tej prostej, ponieważ równanie nie spełnia definicji funkcji, gdyż wszystkie możliwe rozwiązania przyporządkowane są do jednego punktu:

Wszystkie pary liczb mające postać , gdzie , są rozwiązaniami, dlatego wykres przedstawiamy za pomocą prostej pionowej we wskazanym punkcie.
b)
Podchodzimy do rozpatrzenia tego równania. Zauważamy, że jeżeli przy wartości stoi , to dla jakiejkolwiek jego wartości wynik będzie przyjmował wyżej wymienioną wartość. Dlatego redukując postać przedstawionego równania, otrzymujemy je we wskazanej postaci: . Rysujemy z powstałego równania wykres tej funkcji:

Zauważamy, że narysowana funkcja przyjmuje postać prostej stałej na wysokości , ponieważ jej współczynnik . Dlatego nasza funkcja nie będzie zmieniała wartości ze względu na zmieniane argumenty. Oznacza to, że dla każdego jest przyporządkowana ta sama wartość . Rozwiązanie zapisujemy w postaci: .

Wnioski z powyższych podpunktów jakie należy wyciągnąć:
a) Jeżeli jest różne od , to jego równanie opisuje prosta przecinająca oś w punkcie
b) Jeżeli jest różne od , to jego równanie opisuje prosta przecinająca oś w punkcie
c) Jeżeli jest różne od i jest równe , to równanie opisuje prosta równoległa do osi
d) Jeżeli jest równe i jest różne od , to równanie opisuje prosta równoległa do osi