Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna to jest taka funkcja, która przyporządkowuje wartościom danej funkcji jej odpowiednie argumenty.
Oznacza to, że działa odwrotnie do niej samej. Poniżej przedstawiona funkcja:
f: X → Y
jest funkcją odwracalną w Y ,gdy można znaleźć funkcję :
g: Y → X przy założeniach, że:

g (f(x)) = x dla każdego x X
f (g(y)) = y dla każdego y Y

Powyższe oznacza, że funkcja „g” jest funkcją odwrotną do funkcji „f” . Oznacza się ją symbolem f -1.
Należy wiedzieć, że nie do każdej funkcji można odnaleźć funkcję odwrotną do niej. Nie dla każdej funkcji g (f(x)) = x istnieje funkcja do niej odwrotna f (g(y)) = y. Funkcja odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy istnieje relacja odwrotna, którą otrzymujemy przez zamienienie argumentów danej funkcji miejscami.
Poniższy graf ilustruje funkcję odwrotną:

Wynika z niego, że dziedziną funkcji „f-1″ jest jej przeciwdziedzina funkcji „f”. Natomiast przeciwdziedziną funkcji „f-1 ” jest dziedzina funkcji „f”.

Aby sprawdzić, czy istnieje funkcja odwrotna „g” do funkcji „f” , należy rozwiązać następujące równanie:
y = f (x)
Niewiadomą jest oczywiście „x”.
Jeżeli rozwiązaniem jest:
x = g (y)
to mamy do czynienia z funkcją odwrotną.
Dla lepszego zrozumienia tematu, poniżej przykład wyliczenia funkcji odwrotnej. Wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji:
f (x) = 2x – 8
Oznacza to, że po prostu mamy następującą funkcję:
y = 2x -8 dla x R
Aby uzyskać – obliczyć- funkcję odwrotną należy zamienić „x” z „y „. W ten sposób otrzymujemy:
x = 2y -8
Teraz należy wyliczyć „y”.
x + 8 = 2y | :2
x + 4 = y
Obliczyliśmy, że funkcją odwrotną do funkcji f(x) = 2x – 8 jest funkcja f -1 (x) = x +4

Rozważając zagadnienie funkcji odwrotnej należy wspomnieć o tak zwanej monotoniczności funkcji. Oznacza ona, że funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą. Natomiast funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest zawsze funkcją malejącą. Można przedstawić to na następujących wykresach:

Powyższe wykresy przedstawiają;
1 . funkcję wykładniczą o podstawie „a” większej od 1, która jest funkcją rosnącą;
2 . funkcję logarytmiczną – odwrotną do funkcji wykładniczej – o tej samej podstawie, czyli „a” większym od 1 – która również jest funkcją rosnącą.