Funkcja trygonometryczna

Dzisiaj zajmiemy się funkcjami trygonometrycznymi. Wyróżniamy cztery funkcje trygonometryczne. Opiszemy je sobie patrząc na trójkąt prostokątny.

Jak widzisz, boki są podpisane odpowiednimi literkami, jest zaznaczony kąt prosty oraz jest zaznaczony ostry kąt alfa.
Zacznijmy od nazwania sobie tych boków. Bok c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Bok b to przyprostokątna przy kącie, a bok a jest przyprostokątną naprzeciw kąta. Znając te boki możemy napisać cztery funkcje:
Sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, a więc:
Cosinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej, a więc:
Tangens równy stosunkowi długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie, a więc:
Cotangens równy stosunkowi długości przyprostokątnej przy kącie, do przyprostokątnej naprzeciw kąta, a więc:

Tutaj po prostu te wzory trzeba nauczyć się na pamięć, a następnie umieć je zastosować w zadaniach. Poćwiczmy więc rozwiązywanie zadań.

zadanie 1
Przedstaw w ułamku zwykłym wartości funkcji trygonometrycznych, które możesz zapisać dla kąta alfa.

Rozwiązanie takiego zadania warto zacząć od wypisania sobie odpowiednich długości boków, a więc:
a=4
b=3
c=5

Teraz więc możesz zauważyć, że tangens jest odwrotnością cotangensa.

zadanie 1
Przedstaw w ułamku zwykłym wartości funkcji trygonometrycznych, które możesz zapisać dla kąta beta.

Postępujemy tak jak w zadaniu powyżej.

Zauważ, że rozwiązujemy w tym zadaniu ten sam trójkąt co powyżej. Spójrz na otrzymywane wyniki. Czy widzisz jakąś analogię? Zobacz, że sinus kąta alfa jest równy cosinusowi kąta alfa. Sinus kąta beta jest równy cosinusowi kąta alfa. Tangens kąta beta jest równy cotangensowi kąta alfa oraz cotangens kąta beta jest równy tangensowi kąta alfa.

zadanie 3
Podaj wartości funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta ostrego.

Jak widzisz, nie mamy obliczonej długości przyprostokątnej. Z tego powodu powinniśmy rozwiązanie zadania zacząć od zapisania twierdzenia Pitagorasa i obliczenia długości przeciwprostokątnej.

=

Teraz przyszedł czas na zapoznanie się z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych.

Zacznijmy od popularnie znanej „Jedynki trygonometrycznej”. Wygląda ona o tak: . Teraz czas na wyprowadzenie tego wzoru z twierdzenia Pitagorasa.

Teraz czas na kolejny bardzo ważny wzór, który również dotyczy kątów ostrych: . Czas na dowód: c. n. u.

Kolejny wzór jest analogiczny do powyższego. Pozwala nam on obliczyć cotangens kąta alfa: . Dowód: c. n. u.

Ostatni wzór to wzór: . Aby go dowieść, rozpisujemy lewą stronę równania:

Skoro poznaliśmy już tyle wzorów możemy przejść do bardziej trudnych zadań.

Ćwiczenie 1
Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych wiedząc, że

Rozwiązanie:
Tutaj zaczynamy od przekształcenia wzoru na jedynkę trygonometryczną. Tym samym pamiętajmy o podstawieniu znanej nam wartości. W efekcie tego otrzymamy wartość sinusa. Na podstawie tych wartości możemy i przy użyciu pozostałych wzorów obliczamy pozostałe funkcje trygonometryczne.

Ćwiczenie 2
Podaj ile wynosi sinus, cosinus oraz cotangens kąta alfa wiedząc, że tangens tego kąta wynosi 7.

Rozwiązanie:
Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od spojrzenia na wzory. Z których wzorów najłatwiej będzie ci obliczyć szukane wartości? Myślę, że z wzoru na cotangens będą te obliczenia najłatwiejsze. Następnie mając ten cotangens będziemy mogli ułożyć układ równań, który ułożymy dzięki znajomości jedynki trygonometrycznej. Tak więc niewiadomymi w tych układach będzie sinus oraz cosinus kąta alfa. Otrzymane wyniki podstawiamy kolejny raz do jedynki trygonometrycznej. W wyniku tych obliczeń otrzymujemy szukane przez nas wartości.

Takim oto sposobem rozwiązaliśmy kolejne zadanie.