Funkcje

C) Wykres – należy go narysować w układzie współrzędnych. W zależności od rodzaju funkcji (na przykład liniowa, kwadratowa) funkcja będzie miała różny kształt. W sporządzeniu wykresu może pomóc również tabelka. Poniżej podano przykładowy wykres:

D) Wzór – to najczęstszy sposób prezentowania funkcji. Za jego pomocą można narysować wykres, stworzyć tabelkę oraz narysować graf. Wzór funkcji zapisujemy jako: [dalsza część wzoru] – co czytamy jako „f od x” lub [dalsza część wzoru]. Ze wzoru funkcji można często doczytać lub obliczyć jej miejsca zerowe oraz współrzędne wierzchołka funkcji (w przypadku funkcji kwadratowej).

Definicje

Argumenty funkcji – to iksy (x) czyli te, które odczytuje się z osi X

Wartości funkcji – to igreki (y) czyli te, które odczytuje się z osi Y

Dziedzina funkcji – zbiór wszystkich argumentów funkcji, czyli x-ów

Zbiór wartości funkcji – zbiór wszystkich wartości funkcji, czyli y-ów

Monotoniczność funkcji – funkcja jest monotoniczna wtedy, gdy jest rosnąca, stała lub malejąca. Funkcja może być również niemalejąca (jest tak wtedy, gdy wykres funkcji jest stały lub rosnący) lub nierosnąca (kiedy wykres funkcji jest stały lub malejący).

Miejsca zerowe funkcji – to takie argumenty funkcji, których wartość jest równa zero (argumenty, które leżą na osi X). Ich współrzędne to (x,0)

Parzystość funkcji – funkcja jest parzysta wtedy, gdy jej wykres jest symetryczny względem osi Y

Nieparzystość funkcji – funkcja jest nieparzysta, gdy jej wykres jest symetryczny względem punktu przecięcia osi układu współrzędnych, czyli (0,0).

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne służą do obliczania długości boków oraz wartości kątów w trójkącie prostokątnym.

gdzie:
a i b to przyprostokątne,
c to przeciwprostokątna.

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych:

Krok pierwszy: sporządź pomocniczy rysunek. Dzięki niemu będzie ci łatwiej.

Krok drugi: zastanów się jakiej funkcji należy użyć, aby wykorzystując długość podanego boku oraz kąt jaki tworzy z przeciwprostokątną, aby wykonać zadanie. W tym przypadku możesz użyć tangensa (aby obliczyć bok a) oraz cosinusa (aby obliczyć bok c). Zatem wykonaj następujące obliczenia:

Aby obliczyć długość boku a:

Aby obliczyć długość boku c:

Odpowiedź: Miary boków tego trójkąta wynoszą: , oraz .

Funkcja liniowa

Wzór ogólny funkcji liniowej to: y=ax+b [lub f(x)=ax+b], gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej, a b to wyraz wolny.

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta:

Jeżeli współczynnik kierunkowy prostej jest większy od zera to funkcja jest rosnąca, jeśli jest równy zero to jest stała, a jeśli jest mniejszy od zera to funkcja jest malejąca.

Jeśli chcemy obliczyć miejsce zerowa funkcji liniowej wystarczy do jej wzoru podstawić zero za f(x) i obliczyć x. Na przykład jeśli wzór funkcji liniowej to to miejsce zerowe obliczymy w następujący sposób:

, czyli miejsce zerowe tej funkcji jest równe 6.

Przykład drugi: Funkcja liniowa przechodzi przez punkt A o współrzędnych (-2;3) oraz punkt B o współrzędnych (4;6). Wyznacz wzór tej funkcji liniowej.

Krok pierwszy: do wzoru ogólnego funkcji liniowej należy podstawić współrzędne punktu A oraz punktu B. Tworzymy zatem układ równań i za jego pomocą ustalamy wartość współczynnika kierunkowego prostej – a oraz wyrazu wolnego – b.

Krok drugi: Teraz pierwsze równanie mnożymy razy -1, tak aby móc zastosować metodę przeciwnych współczynników:

——————-

Krok trzeci: Kiedy znamy już wartość a obliczamy b:

Krok czwarty: zapisujemy wzór funkcji liniowej:

Przykład trzeci: Wzorem funkcji liniowej jest . Oblicz miejsce zerowe tej funkcji, podaj jej zbiór wartości oraz oceń czy funkcja jest rosnąca czy malejąca.

Krok pierwszy: obliczamy miejsce zerowe. Aby obliczyć miejsce zerowe musimy za f(x) podstawić zero, a następnie obliczyć x. Wykonujemy zatem następujące obliczenia:

Miejscem zerowym tej funkcji jest x=3.

Krok drugi: aby określić zbiór wartości funkcji liniowej możesz najpierw narysować jej wykres lub możesz od razu go określić.

W tym przypadku zbiór wartości funkcji to (; ), czyli zbiór liczb rzeczywistych R.

Krok trzeci: określamy monotoniczność funkcji. Jeśli współczynnik kierunkowy a jest większy od zera to funkcja będzie rosnąca, jeśli jest mniejszy od zera to będzie malejąca, a jeśli jest równy zero to jest stała. Wzorem naszej funkcji jest , zatem a będzie równe -2, a b będzie wynosić 6.

Funkcja określona wzorem jest malejąca.

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna funkcji kwadratowej to: f(x)=ax2+bx+c.
Funkcja kwadratowa może być zapisana również w postaci kanonicznej: , gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli, oraz w postaci iloczynowej: , gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Przykładowy wykres przedstawiono na poniższym rysunku:

Aby sporządzić wykres funkcji kwadratowej musimy znać miejsca zerowe (jeśli funkcja je ma), współrzędne wierzchołka (czyli wartości p oraz q), a także wiedzieć czy ramiona paraboli będą skierowane w górę czy może w dół.

O tym ostatnim informuje nas współczynnik kierunkowy – a. Jeśli jest ujemny oznacza to, że ramiona paraboli będą skierowane w dół, jeśli natomiast jest dodatni to ramiona będą skierowane w górę.

Miejsca zerowe można obliczyć w następujący sposób: najpierw należy doprowadzić wzór funkcji do postaci ogólnej (lub iloczynowej, z której od razu widać ile wynoszą miejsca zerowe). Następnie trzeba obliczyć deltę ze wzoru: . Jeśli delta będzie mniejsza od zera, to będzie oznaczać, że funkcja nie ma miejsc zerowych. Jeśli delta będzie równa zero, to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe, a jeśli jest większa od zera to ma dwa miejsca zerowe, które można obliczyć ze wzorów:

Współrzędne wierzchołka paraboli można odczytać ze wzoru postaci kanonicznej funkcji kwadratowej lub obliczyć ze wzorów:

Przykład czwarty: Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .
a) oblicz miejsca zerowe tej funkcji
b) oblicz współrzędne wierzchołka paraboli
c) narysuj wykres tej funkcji
d) określ jej zbiór wartości
e) określ dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie

a) Krok pierwszy: obliczamy deltę.

Krok drugi: obliczamy pierwiastek z delty:

Krok trzeci: obliczamy miejsca zerowe:

Odpowiedź: Miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej to -2 oraz 4.

b) Krok pierwszy: obliczamy współrzędne wierzchołka ze wzorów:

Odpowiedź: Współrzędne wierzchołka to: (1,-9).

c) Krok pierwszy: narysuj układ współrzędnych
Krok drugi: zaznacz w układzie współrzędnych miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Krok trzeci: zaznacz wierzchołek funkcji kwadratowej.
Krok czwarty: narysuj parabolę przechodzącą przez zaznaczone wcześniej punkty.

d) Zbiór wartości funkcji kwadratowej odczytujemy patrząc na oś Y. W tym przypadku zbiór wartości funkcji kwadratowej to <9; ).
e) Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x∈.

Funkcja wykładnicza

Wzór funkcji wykładniczej to: , gdzie a>0.

Na przykład jeśli wzorem funkcji wykładniczej jest: , to aby narysować wykres funkcji wykładniczej najlepiej na początku stworzyć tabelkę:

x

Przykład piąty: Funkcja wykładnicza określona jest wzorem 4x. Narysuje wykres tej funkcji, podaj jej dziedzinę, zbiór wartości, monotoniczność oraz dla jakich argumentów funkcja jest rosnąca.

Krok pierwszy: tworzymy tabelkę, aby łatwiej było narysować wykres tej funkcji

x

Krok trzeci: Z wykresu odczytujemy dziedzinę. Dziedzina: R (oznacza to, że wszystkie iksy należą do zbioru liczb rzeczywistych).

Krok czwarty: odczytujemy zbiór wartości funkcji (patrzymy na oś igreków). W tym przypadku zbiór wartości funkcji to R+ (oznacza to, że wszystkie wartości tej funkcji wykładniczej należą do zbioru liczb rzeczywistych i są dodatnie).

Krok piąty: określamy monotoniczność. W tym przypadku funkcja jest rosnąca.

Krok szósty: określamy dla jakich argumentów funkcja jest rosnąca. Funkcja jest rosnąca dla .