Funkcje analityczne

Funkcje analityczne- to takie funkcje matematyczne, które mogą być przedstawione w postaci sumy szeregu potęgowego. Funkcje analityczne to między innymi funkcje wielomianowe, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne.
Funkcję zmiennej zespolonej , która określona jest w obszarze płaszczyzny zespolonej, nazywamy funkcją analityczną w punkcie , który należy do obszaru , jeżeli w otoczeniu tego punktu daje się przedstawić w postaci szeregu potęgowego:

Powyższe możemy zapisać, że funkcja jest analityczna na zbiorze otwartym w sensie zespolonym, jeśli dla każdego punktu należącego do zachodzi zależność:

to ciąg liczb rzeczywistych, które są zespolone

Funkcje analityczne mają szerokie zastosowanie w fizyce i technice.

Należy pamiętać, że pojęcie funkcji analitycznej w sensie zespolonym nie jest prawdziwa dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Przykładem może być funkcja :

Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej. W przypadku powyższej funkcji jest to fałszem.

Żeby nie popełniać błędu, często funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się funkcją holomorficzną. Jest to funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych wartościach w , która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru, dzięki czemu, może zostać przedstawiona za pomocą wzoru -szeregu Taylora. Można to zobrazować poniższym rysunkiem przedstawiającym prostokątną siatkę (obraz u góry) oraz jej obrazem względem funkcji holomorficznej (obraz u dołu).