Funkcje kwadratowe

Funkcje kwadratowe
1.Funkcja kwadratowa – jest to funkcja drugiego stopnia, którą można przedstawić za pomocą wzoru , gdzie
a≠0,
a,b,c- współczynniki funkcji kwadratowej,
.
Zapamiętaj!!!
Wykresem (każdej) funkcji kwadratowej jest parabola.
y to to samo co f(x)
argument to x, a wartość to y
Jeśli współczynnik:
a>0 ramiona paraboli skierowane są do góry,
a<0 ramiona paraboli skierowane są w dół.
Współczynnik „c” to miejsce przecięcia paraboli z osią OY.
Przykłady funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:
a= -2, b= 6, c= 1;
a=, b= 0, c= 3;
a= , b= 0, c= 0.

2.Funkcja kwadratowa może mieć postać kanoniczą, którą można przedstawić za pomocą wzoru i (a≠0).
W(p, q)– to współrzędne wierzchołka paraboli,
(p odpowiada x, natomiast q odpowiada y)
x=p to równanie osi symetrii ( jest to prosta, która jest równoległa do osi OY i przechodzi przez wierzchołek W).
Przykłady funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:
a= 4, p= 3, q= 5;
a= 1, p= -5, q= 3;
a= -2, p= 7, q= 0.
Przykład: y=,
a= 1 i a>0, p= -2, q= -4;
W(p,q) W(-2, -4);
x=p x= -2;
f(0)= punkt przecięcia z osią OY to (0,0).
Mamy wystarczająco danych, więc teraz rysujemy wykres funkcji:


Z tego wykresu możemy odczytać także następujące własności:
Dziedzina funkcji ;
Zbiorem wartości funkcji jest przedział od <-4, +ꝏ);
Funkcja jest malejąca w przedziale od (-ꝏ, -2>;
Funkcja jest rosnąca w przedziale od <-2, +ꝏ).
Funkcję kwadratową w postaci kanonicznej możemy łatwo przekształcić w postać ogólną. Pokażemy sobie to na przykładzie takiej funkcji:
=
=
3.Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej , gdzie
( jeśli znamy miejsca zerowe możemy obliczyć p także ze wzoru: ) oraz .

▲( czyt. delta)- jest to wyróżnik trójmianu kwadratowego, o następującym wzorze: .
Przykład. Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego funkcji .
Zaczniemy od wypisania współczynników funkcji:
a= -2,
b= 4,
c= -2.
Następnie podstawiamy do wzoru i liczymy deltę:

▲=0
Przykład. Wyznacz współczynniki funkcji kwadratowej , mając dany wyróżnik i wierzchołek.
▲=12, W(4,3)
p= 4,
q= 3 podstawiamy do wzoru na q wszystkie dane, by obliczyć współczynnik a: skracamy licznik i mianownik / a 3a= -3/:3 a= -1,
następnie podstawiamy dane na p, by obliczyć współczynnik b: -b= 4/ (-2) -b= -8/ (-1)
b= 8,
potem podstawiamy dane do wzoru na deltę, by obliczyć współczynnik c: 4c= -52/:4 ,
a= -1, b= 8, c= 13.
Funkcja kwadratowa wraz z wyznacznikiem trójmianu :
Ma jedno miejsce zerowe, gdy pod postacią .
Ma dwa miejsca zerowe, gdy ▲>0, pod postacią bądź ,
Nie ma miejsc zerowych, gdy ▲<0
Uwaga!!!
Należy pamiętać co robić, gdy mamy do czynienia z nierównością, w której ▲ jest ujemna. Oznacza ona nieskończoną ilość rozwiązań, lub jej brak.
Przykład. Oblicz ilość miejsc zerowych funkcji:
a=3,
b= 2,
c= -1,
▲>0 2 miejsca zerowe
Korzystamy ze wzorów na 2 miejsca zerowe:
lub .
4.Funkcja kwadratowa może mieć postać iloczynową:
, gdy ▲>0
, gdy ▲=0
Brak postaci iloczynowej, gdy ▲<0.
Przykład. Zapisz wzór w postaci iloczynowej:
a=9,
b= 6,
c= 1,

▲=0- jedno miejsce zerowe
5.Wartość najmniejsza i największa funkcji w przedziale domkniętym:
Przykład. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale, gdy <0,3>.
Na początku obliczamy wartości funkcji na początku i na końcu przedziału:
,
,
potem liczymy p: <0,3> ,
następnie liczymy q:
Teraz wybieramy największą i najmniejszą wartość spośród liczb: 2, -1 i 2
f(x) ma wartość najmniejszą równą -1, dla x= 3,
f(x) ma wartość największą równą 2, dla x= 0.
Dziękuję za uwagę!!!