Funkcje liniowe Funkcję określoną wzorem lub równoważnym dla , gdzie a i b są stałymi, nazywamy funkcją liniową. Liczbę we wzorze nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a wyrazem wolnym. Jeżeli prosta jest wykresem funkcji liniowej i przecina oś OY, to przecina ją w punkcie (0,b).
Równanie kierunkowe prostej:
Równanie ogólne prostej: , gdzie A,B,C ∈ R i A2+B2≠0 -jeśli A=0, to prosta jest równoległa do osi OX -jeśli B=0, to prosta jest równoległa do osi OY -jeśli C=0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych
Postać odcinkowa prostej:
Jak obliczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty A=(xa,ya) oraz B=(xb,yb)? , gdy xb≠xa
Równanie prostej o współczynniku kierunkowym a przechodzącej przez punkty (x1,y1) można zapisać w postaci:
Proste równoległe: Dwie proste o równaniach kierunkowych y=a1x+b1 i y=a2x+b2 są równoległe, gdy: Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0 są równoległe, gdy:
Proste prostopadłe: Dwie proste o równaniach kierunkowych y=a1x+b1 i y=a2x+b2 są prostopadłe, gdy: Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0 są prostopadłe, gdy:
Miejsca zerowe funkcji liniowej: Jeżeli a≠0, to funkcja liniowa y=ax+b ma jedno miejsce zerowe: . Można też obliczyć miejsce zerowe za y podstawiając 0 i obliczyć równanie z jedną niewiadomą x. Przykład: y=2x+3 0=2x+3 2x=-3 x=
Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych: -aby wyznaczyć punkt przecięcia z osią OY, należy za x podstawić 0 i obliczyć y -aby wyznaczyć punkt przecięcia z osią OX (miejsce zerowe), należy za y podstawić 0 i obliczyć x
Monotoniczność funkcji liniowej: Jeśli a>0, to funkcja jest rosnąca: Jeśli a<0, to funkcja jest malejąca: Jeśli a=0, to funkcja jest stała:
Wykres funkcji liniowej: Aby naszkicować wykres funkcji liniowej, możemy zrobić tabelę wartości funkcji dla wybranych argumentów. Przykład: Naszkicuj wykres funkcji liniowej określonej za pomocą wzoru: y=2x-1. Krok 1: Sporządzamy tabelę:
x
-2
-1
0
1
2
y
-5
-3
-1
1
3
Krok 2: Rysujemy wykres: Interpretacja geometryczna układu równań liniowych: Rozpatrzmy proste l1 i l2 opisane układem równań: Może zachodzić jedna z poniższych sytuacji: -układ oznaczony (ma jedno rozwiązanie) – proste przecinają się w jednym punkcie: -układ sprzeczny (nie ma rozwiązań) – proste są równoległe: -układ nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań) – proste pokrywają się: Układy nierówności liniowych: Każdą z dwóch części płaszczyzny, na które dzieli ją prosta, nazywamy półpłaszczyzną. -półpłaszczyznę zawierającą krawędź nazywamy półpłaszczyzną domkniętą (czyli lub ) -półpłaszczyznę nie zawierającą krawędzi nazywamy półpłaszczyzną otwartą (czyli > lub <)
Prosta l: y=ax+b wyznacza dwie półpłaszczyzny: -y-y>ax+b jest półpłaszczyzną leżącą powyżej prostej l
Przykładowe zadanie: Wyznacz postać kierunkową funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A=(-2,3) i B=(4,6). Wyznacz monotoniczność funkcji i miejsca zerowe. Rozwiązanie: Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej: y=x+b Krok 2: Oblicz wartość wyrazu wolnego b, podstaw pod x i y współrzędne jednego z punktów przez które przechodzi prosta, np punktu A: 3=-1+b b=4 czyli y=x+4 Krok 3: Wyznacz monotoniczność funkcji: a=, czyli a>0 funkcja jest rosnąca Krok 4: Wyznacz miejsca zerowe, pod y podstaw 0: 0=x+4 x=-4 x=-8
Przykładowe zadanie: Oblicz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej i współczynnik kierunkowej prostej równoległej do prostej . Rozwiązanie: Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do : Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej : Przykładowe zadanie: Rozwiąż graficznie układ równań: Rozwiązanie: Krok 1: Sprowadź podane równania do postaci y=ax+b: Krok 2: Zrób tabelkę, pierwsze równanie oznacz jako y1,a drugie równanie y2: x
-2
-1
0
1
2
y1
10
8
6
4
2
y2
-5
-2
1
4
7
Krok 3: Narysuj proste: Z rysunku odczytujemy, że punkt wspólny prostych to P=(1,4), czyli jest to układ oznaczony.
Przykładowe zadanie: Przedstaw ilustrację graficzną układu nierówności: Rozwiązanie: Krok 1: Sprowadź pierwsze równanie do postaci i drugie do postaci y Krok 2: Zrób tabelkę, pierwsze równanie oznacz jako y1,a drugie równanie y2: x
-2
-1
0
1
2
y1
3
1
-1
-3
-5
y2
4
3
Krok 3: Narysuj nierówności liniowe:
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
