Funkcje wymierne

Funkcje wymierne

zarówno licznik jak i mianownik są wielomianami, gdzie mianownik, czyli W2(x) nie może być liczbą równą 0

dziedzina:
Do dziedziny takiej funkcji należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem liczb, które są pierwiastkami wielomianu W2(x)

przykład 1:

Określ dziedzinę funkcji wymiernej

Określanie dziedziny jest bardzo ważne, ponieważ od niej zależy wynik końcowy, dlatego przy każdym zadaniu pierwszym krokiem będzie właśnie ta czynność.

Mianownik nie może być równy 0, zatem:

≠ dla ułatwienia, aby „pozbyć się” trzeciej potęgi, wyciągamy x przed nawias
≠
≠ ≠ obliczamy deltę ze wzoru oraz i
Δ=1, x1=2, x2=3
≠

zatem x nie może być równe 0, 2, 3, czyli

przykład 2:

Określ dziedzinę funkcji wymiernej

≠
tutaj nie wyciągniemy x przed nawias dla całości, ale możemy posłużyć się metodą grupowania wyrazów

≠
≠
w drugim nawiasie możemy zauważyć wzór skróconego mnożenia
≠
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠

zatem x nie może być równe 4, -2, 2, czyli
warto pamiętać o tym, że gdy podajemy zbiór należy uporządkować liczby w kolejności rosnącej

przykład 3:

Podaj wzór przykładowej funkcji wymiernej, której dziedziną jest zbiór R{-3, 3}

Wiemy już z definicji, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem tych, które są pierwiastkami wielomianu zapisanego w mianowniku funkcji. Z podanego zbioru wiemy, że pierwiastkami są liczby: -3 i 3, zatem mianownik wzoru może wyglądać następująco:

w powyższym zapisie możemy dostrzec użyty w poprzednim przykładzie wzór skróconego mnożenia i zapiszemy go następująco:

Jeżeli w poleceniu nie mamy żadnych innych warunków do spełnienia, w liczniku może znaleźć się jakikolwiek wielomian.

przykładowa odpowiedź:

przykład 4:

Podaj wzór przykładowej funkcji wymiernej, której dziedziną jest zbiór R{-1, 2, 3} i której wykres przecina oś OY w punkcie (0,5).

Początek polecenia jest identyczny jak w poprzednim zadaniu i postępujemy w dokładnie ten sam sposób, natomiast cała treść zadania została wzbogacona o dodatkowy warunek do spełnienia.

pierwiastkami wielomianu znajdującego się w mianowniku są liczby: -1, 2 i 3, zatem przykładowo:

przechodzimy do następnego warunku – wykres ma przecinać oś OY w punkcie (0,5), czyli:

wiemy, że , a skoro nasze x ma być równe 1, a f(x)=0, to podstawmy to co wiemy do wzoru:

wcześniej ustaliliśmy wzór naszego W2, zatem użyjmy go podstawiając 0 za każdy x w nim zapisany:

obustronnie mnożymy przez 6, aby pozbyć się mianownika po lewej stronie i obliczyć W1(0)

aby dokończyć warunek zawarty w poleceniu, należy dobrać taki W1(x), aby dla argumentu 0, czyli dla x=0 W1 przyjmował wartość 30, przykładowo może to wyglądać tak:

łącząc oba warunki, nasz funkcja wymierna może wyglądać następująco:

przykład 5:

Dana jest funkcja wymierna , wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja g przyjmuje wartości większe od 1.

Koniecznie musimy zacząć od założenia, czyli od ustalenia dziedziny podanej funkcji.

≠
≠
≠
≠

Funkcja g ma przyjmować wartości większe od 1, czyli naszym zadaniem jest wyznaczenie argumentów x, dla których prawdziwa jest nierówność: g(x)>1

>
>
>
>

rozwiązywaliśmy nierówność, zatem musimy nasze 2 rozwiązania umieścić na osi

parabola jest skierowana ramionami w dół ponieważ a, czyli liczba przy najwyższej potędze jest ujemna (-1)
znak w nierówności informuje nas o tym, że w rozwiązaniu bierzemy pod uwagę zaznaczone liczby, leżące nad osią x, czyli

musimy w tym momencie powrócić do założenia!!
w zapisanej dziedzinie znajdowały się wszystkie liczby z wyłączeniem 1, zatem wyłączmy z naszego przedziału 1:

!! O czym warto pamiętać:
1) jeżeli mamy określić dziedzinę, to mówiąc w skrócie zapisujemy, że mianownik nigdy nie może być równy zero
2) jeżeli zapisując założenie nie dostrzeżemy żadnego wzoru skróconego mnożenia, a będzie tam np. x2, to musimy pamiętać o zapisaniu dwóch rozwiązań, np.:
≠ ,jest tu ukryty wzór skróconego mnożenia, ale jeżeli go nie rozpiszemy i zaczniemy rozwiązywać w następujący sposób:
≠ musimy pamiętać, że będą tutaj dwa rozwiązania
≠ ≠
≠ ≠

Sytuacja wygląda tak samo przy innych parzystych potęgach, jeżeli widzimy np. x3 sytuacja jest odmienna ponieważ pierwiastek trzeciego stopnia z 27 jest równy 3, nigdy -3, ponieważ (-3)(-3)(-3)=-27, ponieważ pomnożenie nieparzystej ilości liczb ujemnych daje liczbę ujemną. Dlatego dla parzystych potęg 2 rozwiązania, dla nieparzystych jedno.
Musimy także pamiętać, że nie ma pierwiastków stopnia parzystego z liczb ujemnych.
np. podnosząc 2 do kwadratu otrzymamy 4, podnosząc (-2) do kwadratu również otrzymamy 4
3) staraj się odszukać wzory skróconego mnożenia, bardzo możliwe, że tam są i bardzo pomogą w rozwiązywaniu zadania (jeżeli ich nie pamiętasz, wzory są w tablicach matematycznych, których można używać na sprawdzianie, a nawet maturze)
4) każde zadanie zaczynamy od założeń
5) upewnij się na koniec rozwiązywania zadania, że zostały przez Ciebie spełnione wszystkie warunki zapisane w poleceniu