Geometria analityczna

Istnieje wiele zadań z zakresu geometrii analitycznej. W tym wypracowaniu przedstawię najważniejsze wzory, sposoby ich użycia oraz kilka przykładowych zadań, wraz z rozwiązaniami dla lepszego zrozumienia omawianego tematu.

Pierwszym i bardzo ważnym wzorem jest wzór na długość odcinka. Możemy założyć, że jego końce znajdują się w punktach: C = (xc, yc) oraz D = (xd, yd). Przedstawia się on wówczas następująco:

|CD| =

Jeśli mamy podane współrzędne punktów C oraz D, korzystanie z niego jest bardzo proste. Wymaga jedynie podstawienia danych. Na przykład:

1) Współrzędne punktów to: C = (2,4), D = (6,8)

|CD| = = = = = =

2) Współrzędne punktów to: R = (9,4), Y = (8,7)

|RY| =

Może się również zdarzyć, że będziemy musieli w zadaniach wyznaczyć jedną ze współrzędnych i również konieczne będzie skorzystanie z tego wzoru. Poniżej zostaną przedstawione zadania wraz z rozwiązaniami, dzięki czemu poradzicie sobie i w tego typu sytuacjach:

Zadanie 1
Długość odcinka o końcach w punktach: W = (8, yw) oraz E = (6,2) jest równa . Wyznacz drugą współrzędną punktu W wiedząc, że należy ona do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.

Dane:
|WE| =

Szukane:
yw = ?

Wiemy również, że druga współrzędna należy do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych, czyli nie może być ujemna.

Podstawiamy posiadane dane do wzoru na długość odcinka o końcach w dwóch punktach:

—-> następnie pozbywamy się pierwiastka z obu stron równania, czyli podnosimy obie strony do potęgi drugiej

—-> korzystając ze wzoru skróconego mnożenia pozbywamy się nawiasu z prawej strony równania

—-> przenosimy na jedną stronę

= 0 —-> mnożymy przez (-1)

—-> aby wyznaczyć odpowiednią współrzędną konieczne będzie skorzystanie z wzoru na deltę

a = 1, b = -4, c = -140

—-> to nie jest szukana współrzędna, ponieważ jest ona ujemna, a więc nie należy do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych

—-> to jest szukana współrzędna

Dla pewności można podstawić współrzędne do wzoru na długość odcinka i sprawdzić, czy otrzymany wynik będzie równy danym podanym w treści zadania.

|WE| =

Odpowiedź: Szukana współrzędna to yw = 14.

Kolejnym wzorem jest wzór, z którego można wyznaczyć współrzędne środka odcinka CD:

Jeśli mamy podane współrzędne punktów, to nie pozostaje nam nic innego, jak tylko podstawić je odpowiednio do wzoru, czyli:

1) Współrzędne punktów to: C = (4,8), D = (8,6). Wyznacz współrzędne środka odcinka CD.

2) Współrzędne punktów to: R = (8,9), U = (10,11). Wyznacz współrzędne środka odcinka RU.

Podobnie, jak w poprzednim zadaniu możemy mieć podane inne dane niż współrzędne punktów, które są jednocześnie końcami odcinka. Dzięki poniższemu zadaniu poradzimy sobie nawet w takiej sytuacji.

Zadanie 2
Wyznacz współrzędne punktu W, mając dane:
Współrzędne środka odcinka TW to: . Współrzędne punktu T to: T = (7,4).

—-> nie pozostaje nam nic innego, jak ułożyć dwa równania

—-> pozbywamy się ułamka, czyli mnożymy obie strony przez 2

—-> podobnie jak w powyższym równaniu, pozbywamy się ułamka, czyli mnożymy obie strony przez 2

—-> przenosimy niewiadome na jedną stronę, a wiadome na drugą

—-> tak samo jak wyżej, przenosimy niewiadome na jedną stronę, a wiadome na drugą

Dla pewności można oczywiście podstawić otrzymane dane do wzoru na współrzędne środka odcinka i sprawdzić, czy otrzymane współrzędne będą takie same, jak te podane w treści zadania.

Odpowiedź: Współrzędne punktu W to: W = (9,6).

Teraz możemy przejść do wyznaczania równania prostej, która przechodzi przez dwa punkty. Załóżmy, że będą to punkty C i D.

1) Współrzędne punktów to: C = (8,4), D = (2,6). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty.

y = ax + b —> wskazane jest tutaj skorzystanie z tego wzoru, który przedstawia równanie prostej w postaci kierunkowej

Następnie posiadane dane podstawiamy do wzoru.

Współrzędne punktu C podstawione do wzoru: 4 = 8a + b
Współrzędne punktu D podstawione do wzoru: 6 = 2a + b

| 4 = 8a + b
| 6 = 2a + b

| 4 – 8a = b
| 6 = 2a + b

| b = 4 – 8a
| 6 = 2a+ 4 – 8a

| b = 4 – 8a
| 6 = -6a + 4 —> skracamy przez 2

| b = 4 – 8a
| 3 = -3a + 2

| b = 4 – 8a
| 3a = 2 – 3

| b = 4 – 8a
| 3a = -1

| b = 4 – 8a
| a =

|
|

|
|

|
|

Teraz pozostało tylko podstawić wyznaczone dane do wzoru i powstanie nam równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prezentuje się ono następująco:

y =

Oczywiście istnieje również gotowy wzór na wyznaczanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale korzystanie z niego jest bardziej czasochłonne niż rozwiązywanie układów równań. Przedstawię jednak sposób korzystania z niego, ponieważ nie każdy lubi lub potrafi rozwiązywać układy równań i może się okazać, że skorzystanie ze wzoru będzie dla danej osoby mniej skomplikowane:

(y – yA)(xB – xA) – (yB – yA)(x – xA) = 0 —> Wzór ten znajdziemy w karcie wzorów, więc nie musimy go pamiętać podczas egzaminu maturalnego

2) Współrzędne punktów to: A = (6,4), B = (8,6). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty.

Podstawiamy dane do podanego wyżej wzoru:

(y – 4)(8 – 6) – (6 – 4)(x – 6) = 0

(y – 4)2 – 2(x – 6) = 0

2y – 8 – 2x + 12 = 0

2y – 2x + 4 = 0 —> skracamy przez 2

y – x + 2 = 0

y = x – 2

W ten sposób wyznaczyliśmy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B.

Do omówienia zostały już tylko wzory na proste równoległe oraz proste prostopadłe.

Mamy dane proste o równaniach kierunkowych:

y = a1x + b1 i y = a2x + b2

Te proste będą równoległe, jeśli a1 = a2
Te proste będą prostopadłe, jeśli a1a2 = – 1

Przykład:

1) Mamy dane dwie proste: y = 4x + 18 oraz y = (m – 12)x + 24. Wyznacz m, dla którego obie te proste są równoległe.

W pierwszym równaniu współczynnik kierunkowy to 4. Z kolei w drugim jest nim m – 12. Zgodnie z definicją, aby te proste były równoległe to współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe, czyli:

4 = m – 12 —-> pozostaje tylko wyznaczyć m, przenosząc niewiadome na jedną stronę, a wiadome na drugą, czyli:

4 + 12 = m
m = 16 —> kiedy m będzie równe dwanaście to te dwie proste będą względem siebie równoległe, ponieważ:

16 – 12 = 4

2) Mamy dane dwie proste: y = 4x + 18 oraz y = (m – 12)x + 24. Wyznacz m, dla którego obie te proste są prostopadłe.

Zgodnie z definicją, aby podane proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe pomnożone przez siebie muszą dać nam -1, a więc:

4 (m – 12) = -1
4m – 48 = -1
4m = 47
m =

Kiedy m będzie równe to podane proste będą względem siebie równoległe:

4 = -1

L = P

I to tyle w temacie geometrii analitycznej. Mam nadzieję, że to omówienie pomogło wam w opanowaniu tego działu.