Gęsty

Temat : gęsty

Gęsty jest zbiorem którego domknięcie jest całą przestrzenią.
Kiedy zbiór jest gęsty ?
Zbiór jest w tedy gęsty jeśli ma w każdym nie pustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny .

Zbiór dawniej także nazywano mnogością .

Aby to zrozumieć należy coś wiedzieć o teorii mnogości inaczej teorii zbiorów .
Jest to dział matematyki a jednocześnie logiki matematycznej .
Jej twórcą jest niemiecki matematyk Georg Cantor ( 1845 – 1918 )
Teoria na początku wzbudzała wiele kontrowersji a był to wiek XIX .
Z czasem stała się fundamentem na której oparła się większość matematycznych rozważań .
W przestrzeni metrycznej ( X, d ) zbiór D X nazywanym gęstym jeśli dla każdego x X i liczby > 0 istnieje element q D taki , że `d(x, q ) < , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x X znajduje się jakiś element z D .
Przestrzeń to po logiczna która zawiera przeliczalny zbiór gęsty nazywa się w matematyce przestrzenią ośrodkową .
W przestrzeni topologicznej X jej pod zbiór A X nazywamy zbiorem nigdziegęstym .
Gdy nie jest gęsty w żadnym nie pustym zbiorze otwartym .
Znamy wiele przykładów różnych zbiorów .
Są to zbiory liczb wymiernych i nie wymiernych lub zbiory wielomianów .
Oprócz nich są zbiory funkcji prostych i zbiorów wielomianów trygonometrycznymi .
Ze zbiorami gęstymi najbardziej kojarzą się dopełnienia zbiorów i zbiory pełnej miary Lebesgue ’ a .
Zdarza się że przecięcie się dwóch zbiorów gęstych może się okazać zbiorem pustym .
Przykład :
Zbiory liczb wymiernych i nie wymiernych są gęste na prostej .
Natomiast co ciekawe ich część wspólna jest zbiorem pustym.