Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny
Informacje generalne
Jest to bryła przestrzenna złożona z 2 podstaw – kwadratów oraz 4 ścian bocznych – prostokątów w szczególnym przypadku również kwadratów. Ściany boczne w graniastosłupie prawidłowym są prostopadłe do podstawy. Jak więc nietrudno zauważyć składa się ona z 6 ścian. Krawędzi natomiast, w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym jest 12, wynika to ze wzoru: k=3n gdzie 'k’ to liczba krawędzi, a 'n’ to liczba boków figury w podstawie graniastosłupa. Na tej samej zasadzie możemy również policzyć liczbę wierzchołków (w=2n) oraz ścian (s=n+2) , które wcześniej policzyliśmy bez tego wzoru.

Siatki
Aby rozważyć dogłębnie to w jaki sposób jest zbudowany graniastosłup warto pochylić się nad jego siatką. Siatka graniastosłupa jest swoistym schematem budowy takiej bryły lub nawet instrukcją na jej stworzenie. Aby stworzyć taka siatkę wystarczy nam tyle krawędzi aby każda ściana miała przynajmniej 1 ścianę sąsiednią, to znaczy, że nie możemy rozciąć wszystkich 4 krawędzi przy jednej ścianie. Niezależnie od tego w jaki sposób (nad sposobami zastanowimy się w dalszej części) rozetniemy graniastosłup aby stworzyć siatkę za każdym razem musimy zostawić 5 krawędzi, które wciąż będą łączyć naszą, teraz już, figurę płaską. Wynika to z ilości ścian, które musimy ze sobą połączyć 2 skrajne ściany będą miały tylko po 1 krawędzi wspólnej natomiast pozostałe muszą zostać połączone z przynajmniej 2 innymi ścianami, z tego wynika, że każdej ścianie przypada 1 krawędź łącząca z inna ścianą poza ostatnią którą już policzyliśmy. (Patrz rysunek 1)
Sposoby na siatki
Aby rozważyć ilość możliwych rozcięć graniastosłupa musimy rozpatrzeć 2 przypadki, ściany boczne tej bryły to kwadraty i kiedy są to tylko prostokąty.
Prostopadłościan
W tym przypadku sytuacja jest dość prosta, jeśli rozróżniamy stronę wewnętrzną ściany od zewnętrznej przypadków takich jest 16 (patrz rysunek 2), jeśli jednak nie jest to dla nas ważne to ilość ta redukuje się do 8 (wszystkie siatki można znaleźć w internecie).
Sześcian
Jednak w drugim przypadku sprawa delikatnie się komplikuje ze względu na identyczne figury w podstawach i ścianach bocznych jednak, mimo wszystko wciąż jest dość trywialna możliwości stworzenia takich siatek jest 22 jednak podobnie jak dla prostopadłościanu po zignorowaniu stron każdej ściany możemy zredukować te liczbę o połowę.

Warto dodać, że matematyka stara się upraszczać świat a nie go komplikować z tego też względu częściej można spotkać się z informacją, że takich siatek jest odpowiednio 8 i 11.

Objętość
Wyznaczenie jej nie wiążę się z żadnym problemem jeśli mamy do dyspozycji wszystkie potrzebne dane to jest wysokość i pole podstawy danej bryły ponieważ wzór na objętość dla prostopadłościanu to: V=Pp*H gdzie H to wysokość a Pp to pole podstawy. Wyznaczenie takiego pola w tym przypadku również nie jest problemem, wzór na to pole kwadratu to P=a2 gdzie a to długość boku podstawy. Co więcej jeśli prostopadłościan jest sześcianem to wzór na objętość można uprościć jeszcze bardziej V=a3.

Jednak korzystając z własności trygonometrycznych możemy wyznaczyć te wartości bez niektórych danych np. wystarczy nam wartość tg alfa (mowa tu o kącie między przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy [patrz rysunek 3]) i długość boku podstawy lub długość ściany bocznej. Co więcej jak nietrudno zauważyć istnieje możliwość wyznaczenia tg alfa przy pomocy innych funkcji trygonometrycznych. Wartość, któregokolwiek z kątów ostrych w trójkącie ABC i długość chociaż jednego jego bok( rysunek 3) daje nam możliwość całkowitego rozwiązania tego trójkąta, ponad to przy pomocy np. wartości sin alfa istnieje przynajmniej kilka sposobów na rozwiązanie takiego trójkąta:
-Wartość cos alfa możemy podłożyć do tak zwanej „Jedynki trygonometrycznej” co prowadzi nas do wyliczenia sin alfa (Uwaga! ze względu na potęgi w tym wzorze istnieje możliwość, że podczas rozwiązywania wyjdą 2 wartości w tym przypadku należy odwołać się do wykresu funkcji f(x)=sinx (patrz rysunek 4) jak nie trudno zauważyć sin alfa dla kątów ostrych przyjmuję wartości od 0 do 1 wyłącznie- 0 jest przyjmowane dla kąta 0 stopni, a 1 dla kąta 90 stopni, więc wartość ujemna powinna zostać odrzucona (patrz rysunek 5)), następnie wystarczy podłożyć sin i cos do wzoru na tg=sin/cos co prowadzi nas do pierwotnego rozwiązania.
-Jednak istnieje również możliwość użycia własności trójkąta prostokątnego (w tym przypadku mowa o twierdzeniu pitagorasa) wraz z zastosowaniem funkcji trygonometrycznej jako stosunek 2 konkretnych boków danego trójkąta. (rozwiązanie to poprowadzone na rysunku 6)
-Możemy jednak również po prostu sprawdzić wartość kąta alfa dla danej wartości cos alfa, a następnie sprawdzić tg alfa i poprowadzić rozwiązanie tak jak na początku. Jednak należy pamiętać, że w takim przypadku wartość ta może być niedokładna i delikatnie różnić się od rzeczywistości, wynika to z zaokrągleń jakie występują w tablicach trygonometrycznych.

Te trzy sposoby to aż nadmiar możliwości co nie zmienia faktu, że na pewno znalazło by się jeszcze przynajmniej kilka możliwości, chociaż prawie na pewno żadnej krótszej.

Objętość sześcianu
Jeśli jednak pochylimy się na objętością tego szczególnego prostopadłościanu prawidłowego czworokątnego. Sytuacja staje się jednocześnie prostsza ale i ciekawsza. Ze względu na to, że każdy bok tej bryły jest taki sam, a każda ściana jest identycznym kwadratem to wystarczy nam wyłącznie jedna długość boku tej bryły aby obliczyć objętość. Jednak istnieje możliwość na wyliczenie tej objętości przy pomocy jedynie długości przekątnej jednej ze ścian tego kwadratu, ponieważ przekątna ta wraz z 2 bokami tej ściany tworzy szczególny trójką pitagorejski, do którego rozwiązania wystarczy jeden bok. Ze względu na identyczne długości przyprostokątnych w tym trójkącie, możemy wyciągnąć wniosek, że kąty w tym trójkącie rozkładają się w następujący sposób (90, 45, 45) a boki w stosunku ( a*21/2, a, a) (patrz rysunek 7 i zawarty tam dowód).
Co więcej mając już tą wiedzę jesteśmy w stanie rozwiązać inny dość konkretny trójkąt w tej bryle, to jest trójkąt składający się z przekątnej całej bryły, przekątnej jednej ze ścian i samego boku. Korzystając z poprzednio wyprowadzonych informacji znamy 2 z 3 boków tego trójkąt, co więcej jesteśmy świadomi tego, że jest od trójkątem prostokątnym, więc aby wyliczyć bok 3 wystarczy powołać się na twierdzenie pitagorasa (rysunek 8). Jesteśmy, więc w stanie obliczyć objętość sześcianu przy pomocy, któregokolwiek z powyżej opisanych odcinków.

Objętość a kąt alfa
Jeśli kąt alfa to kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy, to im większy jest kąt alfa tym większa jest objętość tego prostopadłościanu, gdyż zwiększa się wysokość tej bryły. Oczywiście przy założeniu, że pole podstawy tej bryły pozostanie stałe w każdym badanym przypadku.

Odcinki
W każdym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym możemy wyróżnić 5 odcinków:
-bok podstawy (a)
-przekątna podstawy (a*21/2)
-wysokość (h)
-przekątna ściany bocznej ( (a2+ h2)1/2)
-przekątna graniastosłupa (D) rozwiązanie jej na rysunku 9)

Pole całkowite graniastosłupa
Pole całkowite każdej bryły przestrzennej jest sumą pól wszystkich ścian tej bryły przestrzennej, więc w tym przypadku jest to suma 2 pól podstawy (2a2) i 4 pól ścian bocznych (4ah) co prowadzi na do wzoru:
Pc=2Pp+4Pb=2a2+4ah=2a(a+2h)
Gdzie:
Pc – Pole całkowite
Pp – Pole podstawy
Pb – Pole ściany bocznej

Prostopadłościan wpisany w kule
Aby realnie wpisać bryłę w kule musimy zastrzec aby każdy wierzchołek tej bryły przestrzennej dotykał powierzchni kuli, w którą chcemy wpisać taką bryłę.
Jeśli chodzi o prostopadłościan to jest możliwe wpisanie w kule zarówno sześcianu jak i prostopadłościanu prawidłowego czworokątnego. Warto zwrócić uwagę na przekrój tych brył konkretnie na przekrój zawierający przekątne tych brył (patrz rysunek 10). Można zauważyć, że przekątna danej bryły jest równa 2 promieniom tej kuli.
D=2R
gdzie:
D to przekątna graniastosłupa
R to promień kuli
Objętość
Z tego wynika że jeśli prostopadłościan ma boki a, a, h to jego objętość (Vp) jest równa a2h, a objętość kuli (Vk) jest równa 4/3Pi*R3 (Pi-tu mowa o liczbie Pi=3,14…)
tak więc:
Vk=4/3Pi*([h2+2a2]1/2/2)3
Jeśli jednak mówimy o sześcianie to
R=(a*31/2)/2
Vk=Pi*a3*31/2/2
Co więcej stosunek objętości kuli do objętości sześcianu jest równy:
Vk/Vs=(Pi*a3*31/2/2)/a3=(Pi*31/2)/2 co w przybliżeniu daje 2,72
Stosunek ten jak nietrudno się domyślić pozwala nam przejść z jednej objętości do drugiej. Po przez pomnożenie objętości sześcianu razy stosunek możemy otrzymać objętość kuli, odpowiednio po przez podzielenie Vk przez ten stosunek możemy otrzymać Vs. Warto zaznaczyć, że aby otrzymać dokładny wynik należałoby korzystać ze tej postaci stosunku (Pi*31/2)/2. Przybliżenie 2,72 jest tylko przybliżeniem i skazuje nas na niedokładność w rachunkach. Co więcej sprawdza się to wyłącznie dla sześcianu!
Pole
Pole takiej kuli (Pk) korzystając z tych samych oznaczeń możemy zapisać jako:
Pk=4*Pi*R2
co w przypadku sześcianu jest równe
Pk=4*Pi*3/4*a2=3*Pi*a2
Podczas gdy Pole sześcianu
Ps=6a2
W związku z tym można wysunąć wniosek, że stosunek pola kuli do pola całkowitego sześcianu jest równy:
Pk/Ps=3*Pi*a2/6a2=Pi/2 co w przybliżeniu jest równe 1,57.
Daje to logiczny pogląd na tą sytuacje ponieważ to sześcian jest wpisany w kulę, więc nie bez przyczyny jego pole jest mniejsze od pola kuli.
Podobnie jak przy objętościach możemy z jednego pola uzyskać drugie przy pomocy tego stosunku.

Prostopadłościan opisany na kuli

Aby wpisać w bryłę kule musimy zastrzec aby kula ta dotykała każdej ściany danej bryły. Co więc prowadzi nas do wniosku, że w przypadku prostopadłościanu, kula musi być styczna do każdej z 6 jego ścian. Co więcej nietrudno wywnioskować, że każdy bok prostopadłościanu powinien być równy długości 2 promieni:
a=2r gdzie r to promień kuli. Jako, że kula posiada takie same promienie niezależnie od płaszczyzny prowadzi nas to do wniosku, że wpisanie kuli w prostopadłościan jest możliwe wyłącznie jeśli prostopadłościan ten jest sześcianem. (patrz rysunek 11)

Objętość

Jeśli objętość tego sześcianu jest równa a3 to objętość tej kuli (Vk) równa jest Vk=4/3*Pi*(a/2)3=(Pi/6)*a3
W związku z tym stosunek objętości kuli do objętości sześcianu jest równa:
Vk/Vs=(Pi/6)*a3/a3=Pi/6

Pole

Odpowiednio stosunek pól jest równy:
Pk/Ps=4Pi*(a/2)2/6a2=Pi/6

Zachęcam do zapoznania się ze wszelkimi rysunkami i licznymi obliczeniami dotyczącymi powyższych rozważań załączonymi poniżej.
Jeśli więc skupimy się na prostopadłościanach to istnieje możliwość wpisania zarówno sześcianu jak i prostopadłościanu prawidłowego czworokątnego w kulę. Warto zwrócić uwagę na przekrój tych brył konkretnie, przekrój przechodzący przez przekątną tej bryły patrz ( rys Prostopadłościan opisany na kuli