Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty jest graniastosłupem, którego obie podstawy są takimi samymi wielokątami, a wszystkie krawędzie oraz ściany tego graniastosłupa są prostopadłe do jego podstawy. Wysokość graniastosłupa prostego jest równa długości jego krawędzi bocznej.

Przykładowe rodzaje graniastosłupów prostych

Graniastosłup prosty trójkątny jest graniastosłupem, który ma trójkąt w podstawie.

Graniastosłup prosty czworokątny ma w podstawie czworokąt. 
Graniastosłup prosty sześciokątny ma w podstawie sześciokąt.
Obliczanie objętości graniastosłupa prostego

Żeby obliczyć objętość graniastosłupa prostego musimy pomnożyć pole jego podstawy razy wysokość.

Wzór na objętość graniastosłupa prostego:

– objętość graniastosłupa
– pole podstawy graniastosłupa
– wysokość graniastosłupa

Obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego musimy dodać do siebie pola jego obu podstaw oraz pole boczne.

Wzór na pole całkowite graniastosłupa prostego:

– pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
– pole podstawy graniastosłupa
– pole boczne graniastosłupa

Zadanie 1
Oblicz ile wynosi pole podstawy graniastosłupa prostego, którego objętość wynosi 126 cm2, a jego wysokość jest równa 7 cm.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć pole podstawy tego graniastosłupa prostego musimy jego objętość, czyli 126 cm2 podzielić przez 7 cm, czyli długość jego wysokości, ponieważ wiemy, że objętość graniastosłupa obliczmy mnożąc jego pole podstawy razy wysokość.

Odpowiedź: Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi 18 cm2.

Zadania 2
Oblicz ile wynosi pole podstawy graniastosłupa prostego, którego pole całkowite wynosi 80 cm2, a pole boczne tego graniastosłupa jest trzy razy większe niż pole jednej podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:
Pole podstawy tego graniastosłupa możemy obliczyć za pomocą równania. Pole jednej podstawy oznaczamy jako , pola jego obu podstaw oznaczamy jako , a pole boczne tego graniastosłupa jako , ponieważ wiemy, że jego pole boczne jest trzy razy większe niż pole jednej podstawy tego graniastosłupa.

/:

Odpowiedź: Pole jednej podstawy tego graniastosłupa wynosi 16 cm2.

Zadanie 3
Marysia zrobiła z papieru graniastosłup prosty czworokątny, którego pole podstawy wynosi 22 cm2, a wysokość 7 cm. Natalia skonstruowała graniastosłup prosty trójkątny o podstawie 25 cm2 i wysokości równej 4 cm. Oblicz, która z dziewczyn zrobiła graniastosłup o większej objętości.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia objętości graniastosłupa prostego, który skonstruowała Marysia. Wiemy, że jego pole podstawy wynosi 22 cm2, a wysokość 7 cm zatem żeby otrzymać jego objętość musimy pomnożyć 22 cm2 razy 7 cm.

Graniastosłup skonstruowany przez Marysię ma objętość 154 cm3.

Teraz obliczamy objętość graniastosłupa, który zrobiła Natalia. Żeby to zrobić musimy pomnożyć jego pole podstawy równe 25 cm2 razy jego wysokość, która wynosi 4 cm.

154 cm3 > 100 cm3

Odpowiedź: Marysia skonstruowała graniastosłup prosty o większej objętości niż graniastosłup, którego skonstruowała Natalia.

Zadanie 4
Zielony graniastosłup prosty ma pole podstawy równe 27 cm2 i pole boczne, które wynosi 52 cm2, a czerwony graniastosłup prosty w podstawie ma czworokąt o polu 20 cm2, a jego pole boczne wynosi 70 cm2. Oblicz który z graniastosłupów ma większe pole powierzchni całkowitej.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć pole całkowite tego graniastosłupa prostego musimy dodać do siebie pole jego obu podstaw i jego pole boczne.

Pole całkowite zielonego graniastosłupa prostego wynosi 106 cm2.

Teraz obliczamy pole powierzchni całkowitej czerwonego graniastosłupa prostego, którego pole podstawy wynosi 20 cm2, a jego pole boczne 70 cm2.

Pole całkowite czerwonego graniastosłupa wynosi 110 cm2.

Odpowiedź: Czerwony graniastosłup prosty ma większe pole całkowite niż zielony graniastosłup.

Zadanie 5
Oblicz pole całkowite graniastosłupa prostego czworokątnego, którego pole podstawy wynosi 15 cm2, a jego pole boczne jest trzy razy większe niż jego pole podstawy.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć ile wynosi pole boczne tego graniastosłupa 15 cm2 musimy pomnożyć razy trzy, ponieważ wiemy, że jego pole boczne jest trzy razy większe niż pole jego podstawy.

Skoro wiemy już ile wynosi pole boczne tego graniastosłupa możemy obliczyć jego pole całkowite.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 75 cm2.

Zadanie 6
Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prostego, którego pole podstawy wynosi 20 cm2, wysokość ma długość 7 cm, a jego pole boczne wynosi 60 cm2.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy pole całkowite tego graniastosłupa dodając do siebie jego pole boczne i pola jego obu podstaw.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 100 cm2.

Następnie obliczmy objętość tego graniastosłupa prostego mnożąc jego pole podstawy razy wysokość.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa prostego wynosi 100 cm2, a jego objętość jest równa 140 cm3.

Zadanie 7
Marianna narysowała na kartce papieru dwa graniastosłupy proste z czego jeden z nich pomalowała na żółto, a drugi na pomarańczowo. Pole podstawy żółtego graniastosłupa wynosi 12 cm2, jego pole boczne 30 cm2, a jego wysokość 6 cm. Pole boczne pomarańczowego graniastosłupa wynosi 35 cm2, jego pole podstawy 10 cm2, a jego wysokość ma długość 7 cm. Oblicz, który z tych graniastosłupów prostych ma większe pole powierzchni całkowitej i który z nich ma większą objętość.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola całkowitego żółtego graniastosłupa, którego pole podstawy wynosi 12 cm2, a jego pole boczne 30 cm2.

Teraz w ten sam sposób obliczmy pole całkowite pomarańczowego graniastosłupa.

Wiemy już, że pomarańczowy graniastosłup ma większe pole powierzchni całkowitej niż żółty graniastosłup.
Następnie obliczamy objętość żółtego graniastosłupa prostego mnożąc jego pole podstawy wynoszące 12 cm2 razy wysokość równą 6 cm.

Teraz obliczamy objętość pomarańczowego graniastosłupa, którego pole podstawy wynosi 10 cm2, a wysokość 7 cm.

72 cm3 > 70 cm3

Odpowiedź: Pomarańczowy graniastosłup prosty ma większe pole powierzchni całkowitej niż żółty graniastosłup, a żółty graniastosłup ma większą objętość niż pomarańczowy graniastosłup.

Zadanie 8
Oblicz objętość graniastosłupa prostego, który w podstawie ma prostokąt o wymiarach 4 cm x 7 cm, a jego wysokość jest równa 6 cm.
Rozwiązanie:
Żeby obliczyć objętość tego graniastosłupa prostego najpierw musimy obliczyć ile wynosi pole jego podstawy. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się prostokąt o wymiarach 4 cm x 7 cm, zatem jego pole obliczymy mnożąc 4 cm razy 7 cm.

Następnie obliczamy jego objętość mnożąc 28 cm2 razy 6 cm.

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa prostego wynosi 168 cm3.