Spróbujmy zrozumieć to pojęcie na przykładzie. Poniżej przedstawiono wykres ciągu
W tabeli wypisano początkowe wyrazy tego ciągu w miarę wzrostu liczby
Jak widzimy, kolejne wyrazy ciągu są coraz bliższe osi , czyli liczbie . Taką liczbę nazywamy granicą ciągu (lub też granicą właściwą ciągu). Zapisujemy to w następujący sposób:
→
*Słowo ,,
lim” jest skrótem od łacińskiego ,,limes” oznaczającego granicę. Natomiast ze strzałeczką czytamy jako ,,przy dążącym do nieskończoności”.
A więc w przypadku powyższego przykładowego ciągu
, będzie równe właśnie liczbie .
Jeśli mamy inny ciąg
, którego granicą jest liczba , to zachodzi nam nierówność:
< gdzie:
– dowolna liczba większa od zera, dla której prawie wszystkie wyrazy danego ciągu są oddalone od granicy o mniej niż .
Możemy to zapisać również tak:
Jeśli ciąg będzie miał granicę równą , to będziemy mówić, że jest zbieżny do
Dla niektórych ciągów granica może mieć stałą wartość równą 0 lub 1. Mamy więc następujące twierdzenia:
, dla n→∞ , dla n→∞ dla n→∞
Na podstawie ostatniego twierdzenia możemy wywnioskować kolejne granice ciągów:
n→∞ n→∞ n→∞
Ważna jest do zapamiętania jeszcze jedna informacja, a mianowicie:
ciąg może mieć tylko jedną granicę. Owa granica będzie również granicą jego podciągów. Jednak nie wszystkie ciągi muszą mieć swoją granicę. Te, których podciągi mają różne granice, nie będą jej miały. Ciągi, które jej nie mają, nazywamy ciągami rozbieżnymi.
Granicy nie ma przykładowo ciąg naprzemienny
.
Podsumowując, przy niektórych ciągach liczbowych możemy mówić o ich granicach, które zapisujemy jako
przy n→∞.
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
