Granica funkcji w punkcie

Czym jest granica funkcji w punkcie?
Mamy funkcję , która jest określona z obu stron względem punktu . Zadaniem jest obliczenie do której liczby będą dążyć wartości (y-ki), gdy argumenty (x) będą się zbliżać do naszego .
Sąsiedztwo – co to?
Na początek wzór:

Znaczy to, że sąsiedztwem punktu jest przedział, który zawiera w sobie odległość (promień) od punktu i jest obustronnie otwarty, ale sam punkt do tego przedziału nie należy. Promień może być dowolną liczbą dodatnią. Sąsiedztwo przyda się w liczeniu granic lewostronnych i prawostronnych.
Granice lewostronne i prawostronne – jak je ugryźć?
Do tych granic będziemy potrzebować sąsiedztwa. Sąsiedztwo lewostronne ma wzór i oznacza otoczenie w odległości „na lewo” na osi od punktu . Sąsiedztwo prawostronne ma wzór i oznacza otoczenie w odległości „na prawo” na osi od punktu .
A teraz trochę praktyki, policzmy zatem następujące granice:
a) = – jest to symbol nieoznaczony, więc musimy znaleźć inny sposób

Zauważamy w liczniku wzór skróconego mnożenia i go rozpisujemy
=

Skracamy nawiasy i zostaje nam:


Więc możemy podstawić:
=

Jeśli przy liczeniu gracy wyjdzie nam symbol nieoznaczony, to w wielu przypadkach bardzo istotne są wzory skróconego mnożenia!
b) Obliczmy granice jednostronne funkcji
Najpierw założenia:
≠
≠
≠
Teraz liczymy granicę lewostronną, a następnie prawostronną:


=

Granica lewostronna jest taka sama jak prawostronna, więc granica w punkcie istnieje. Jeśli granica lewostronna ma inną wartość niż granica prawostronna to nie istnieje granica w .