Granica matematyczna

Granica matematyczna:
Granica opisująca zachowanie głównie ciągów, oraz funkcji dążących do jakiejś wartości lub nieskończoności.

Pojęcia:
-lim-(z łacińskiego limes)- oznacza granicę
-granica funkcji h(x) w punkcie x0 (według definicji Heinego) wynosi g wtedy, jeśli wartość funkcji dla kolejnych argumentów xn zbiegających się do punktu x0 dąży do wartości g.Innymi słowy obserwuję do jakiej liczby dąży wartość funkcji h(x), jeżeli argumentami będę się zbliżać do x0.

Granice funkcji dla funkcji ciągłej (można narysować nie odrywając ołówka od kartki, za pomocą linii ciągłej):
-granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji dla argumentu x0.

W tym przypadku rozważam granicę funkcji o wzorze f(x)=2x+3 w punkcie x0 równym 2. Aby to zrobić, badam jak zachowują się kolejne wartości funkcji dla argumentów zbiegających się w punkcie 2. Obserwuję wartości funkcji dla ciągu argumentów 5; 4; 3; 2,5; 2,25 itd, które wynoszą odpowiednio 13; 11; 9; 8; 7,5. Wartości funkcji są zbieżne do wartości 7. Dlatego 7 jest granicą funkcji w punkcie 2.
Tak zapisuje się to symbolicznie:

Podobnie analizując argumenty mniejsze od 2, ale zmierzające do 2, otrzymamy wartości funkcji zmierzające do 7.

Teraz rozważę kolejny przykład:

nie istnieje.

Ta funkcja ma dwie granice – prawostronną i lewostronną.
Granicę prawostronną określamy analizując wartości funkcji dla argumentów większych od x0 dążących do x0. Granicę lewostronną określamy analizując wartości funkcji dla argumentów mniejszych od x0 dążących do x0. w tym przypadku granicą prawostronną w punkcie 5 jest -2 (), a lewostronną 5 ().

Wykres z asymptotą (linia do której dąży wykres funkcji, ale nie jest jej częścią)

W tym przypadku granica lewostronna funkcji g(x) w punkcie x=-5 jest równa -∞, a prawostronna jest równa +∞


Granica nie istnieje.

Obliczanie granicy funkcji w punkcie w różnych przypadkach.

Przykład 1:
Dla funkcji ciągłej granicą funkcji w punkcie x0 będzie wartość tej funkcji dla argumentu x0.
Obliczam wartość granicy funkcji w punkcie x=9

Granica funkcji w punkcie 9 wynosi 6.

Przykład 2:
Obliczam granicę funkcji:

w punkcie x0=-3
Nie można obliczyć wartości funkcji dla x=-3, ponieważ -3 nie należy do dziedziny tej funkcji, ale można rozpisać wyrażenie i dokonać skrócenia:
i obliczyć wartość funkcji f(x) = x-3 dla x=-3

Granica funkcji w punkcie -3 wynosi -6.

Przykład 3:
Obliczam granicę funkcji

w punkcie x0=0
Podobnie nie istnieje wartość dla x=0. Trzeba rozważyć dwa przypadki, dla x<0 oraz x>0.
dla x>0
dla x<0
dla x>0
dla x<0

Granica ciągu:
Granicę ciągu obliczamy analizując kolejne wartości jego wyrazów dla kolejnych n i obserwujemy do jakiej wartości one dążą.

Obliczam granicę ciągu – przykład 1:
Ciąg oznaczam jako an, (dla n od 1 do nieskończoności), jego kolejne wyrazy definiuję jak poniżej:
an=12n
a1=121=12
a2=122=144
a3=123=1728
Wartości wyrazów zwiększają się, więc dążą do nieskończoności. Możemy więc zapisać:

Przykład 2:
Ciąg oznaczam jako bn, jego kolejne wyrazy to:
bn=7+
wartość przy n dążącym do nieskończoności ma bardzo małą wartość dążącą do 0. Gdy do 0 dodamy 7 otrzymujemy liczbę 7. Więc możemy zapisać:

Przykład 3:
Ciąg oznaczam jako cn, jego kolejne wyrazy definiuję jako:
cn=

W liczniku ułamka wartość 9-n dąży do -∞, mianownik 5n-3 dąży do + ∞. Rozpisując te wyrażenia wyciągając n przed nawias, n można skrócić i zbadać granicę ciągów oraz , w pierwszym wyrażeniu zmierza do 0, więc licznik zmierza do -1, w drugim wyrażeniu wartość zmierza do 0, więc mianownik dąży do 5. Ostatecznie otrzymujemy: