Granice ciągów

Granica ciągu – definicja.

lim an = g /an – g/ < ϵ
n ∞  ϵ > 0 n0 N n>n0

Liczba g jest granicą ciągu przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego ϵ istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność: an – g < ϵ. Liczba g jest granicą ciągu, jeżeli do otoczenia liczby g o dowolnym promieniu wpadają prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Obliczanie granic: an =

an =

lim , a
n ∞

an = , (/ g/< ϵ)
n ∞
an =

lim an = +∞

Ciąg, który ma granicę nazywamy ciągiem zbieżnym. Ciąg, który niema granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym.

Ciąg, który ma granice nieskończoność jest ciągiem o którym mówimy, że posiada granicę niewłaściwą.

Twierdzenia o ciągach zbieżnych:

Jeśli:
lim an = a, lim bn= b, k , b≠0
n∞ n∞
to zachodzą twierdzenia.

lim (an +/- bn) = a +/- b
n ∞

lim (an bn) = a b
lim =
lim k = k a
lim =

Oto kilka przykładów obliczania granic ciągu:

a) lim (2+3) = lim 2+3 = 2+30=32

b) lim (5+)(1-) = (5+)

c) lim 4 = 4 = 12

d) lim

e) lim = 0

(dziele licznik i mianownik przez n w najwyższej potędze mianownika)

f) lim lim = lim = lim

g) lim lim = 4

h) lim = lim

i) lim = lim = = 2

j) lim = =

k) lim =

l) lim lim

m) lim (n5-6n2+3n-1) = lim n5(1- ) = +∞