Grawitacja

Grawitacja jest jednym z czterech podstawowych oddziaływań w naszym świecie, które działa na wszystkie ciała posiadające masę. Dzięki niej Ziemia może obracać się wokół Słońca, a Księżyc wokół Ziemi. Poza nią są także oddziaływania słabe, silne i elektromagnetyczne, jednak to grawitacja wciąż sprawia najwięcej kłopotów fizykom.

Prawo powszechnego ciążenia
W 1665 roku Isaac Newton odkrył i wykazał, że siła przyciągająca jabłko, to jest ta sama siła, którą Ziemia przyciąga Księżyc. Takie zjawisko przyciągania nazwał ciążeniem (grawitacją). Równanie Newtona, opisujące siłę przyciągania masywnych obiektów, wygląda następująco

(prawo powszechnego ciążenia),

gdzie i to masy przyciągających się cząstek, odległość między nimi, a to stała grawitacyjna, której wartość wynosi
.
Jak pokazano na rysunku obok cząstka o masie m1 przyciąga cząstkę o masie m2 a ta z kolei przyciąga cząstkę o masie m1. Siły i są parą akcji i reakcji z zasady dynamiki Newtona . Są równe co do wartości bezwzględnej, ale mają przeciwne zwroty.

Prawo powszechnego ciążenia działa tylko dla cząstek, jednak możemy go używać także do ciał rzeczywistych np. obliczając siłę pomiędzy Ziemią a Księżycem, ponieważ ich rozmiary są małe w porównaniu z odległością pomiędzy nimi. Ale co jeśli rozważamy układ jabłko-Ziemia? Wtedy przychodzi nam z pomocą Newton, który udowodnił twierdzenie , że ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątrz powłoki, tak jakby cała masa powłoki była skupiona w jej środku. Co prawda Ziemia nie jest powłoką a kulą, jednak można ją także potraktować jako bardzo wiele powłok, z których tworzy się cała kula. Tak więc można traktować Ziemię jak pojedynczą cząstkę o masie Ziemi, która znajduje się dokładnie w jej środku.

Wskazówka: niektórzy patrzą na odległość pomiędzy ciałami, licząc od ich powierzchni. Jednak jak widać jest to błędne i trzeba patrzeć na odległość od środków mas tych ciał.

Zasada superpozycji
Jeśli mamy do czynienia z więcej niż jedną cząstką, to wypadkową siłę działającą na interesującą nas cząstkę możemy policzyć z zasady superpozycji, która mówi, że wypadkowe działanie jakiegoś czynnika jest sumą przyczynków od poszczególnych jego źródeł. Tak więc dla n oddziałujących ze sobą cząstek mamy

→ → → →
,

→ →
gdzie F1, wyp to wypadkowa siła działająca na interesującą nas cząstkę a np. F12 to siła z jaką cząstka 2. działa na cząstkę 1. Równanie to można zapisać także w bardziej zwięzłej formie
→ →
F1, wyp F1i.

Zróbmy teraz jakiś przykład. Mamy trzy cząstki o masach m1 = 2 kg, m2 = 1 kg i m3 = 4 kg, które są ułożone jak na rysunku obok a = 10 cm. Chcemy znaleźć wypadkową siłę działającą na cząstkę o masie m1.

Na początku policzmy poszczególne siły jakimi pozostałe cząstki działają na cząstkę 1.

Teraz możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć siłę wypadkową, ponieważ siły są skierowane do siebie pod kątem prostym

.

Możemy jeszcze obliczyć kąt pod jakim jest skierowana ta siła względem osi y
°.

Grawitacja w pobliżu powierzchni Ziemi
Zakładając, że Ziemia jest jednorodną kulą, możemy stwierdzić, że siła z jaką Ziemia działa na cząstkę, znajdującą się na zewnątrz Ziemi, jest równa
,

gdzie M – masa Ziemi, m to masa cząstki, a r to odległość cząstki od środka Ziemi.
Siła ta wywołuje przyspieszenie u cząstki nazywane przyspieszeniem grawitacyjnym lub ziemskim . Zakładając, że jest to jedyna siła działająca na cząstkę, możemy zapisać zasadę dynamiki Newtona dla cząstki

.
Podstawiając i wyznaczając

.

Tak prezentują się wyniki tego równania dla różnych wysokości nad powierzchnią Ziemi

Wyniki te jednak nie są do końca prawidłowe z następujących względów:

Ziemia nie jest jednorodna. Gęstość Ziemi nie wszędzie jest taka sama, dlatego w różnych miejscach na jej powierzchni przyspieszenie może być inne.
Ziemia nie jest idealną kulą. W wyniku ruchu obrotowego Ziemi jest ona spłaszczona na biegunach. Dlatego na biegunie przyspieszenie ziemskie jest większe niż na równiku, ponieważ odległość od środka Ziemi na biegunie jest mniejsza.
Ziemia obraca się. W wyniku tego na ciało działa także siła odśrodkowa, która także zmienia przyspieszenie, działające na ciało.

Wzór na przyspieszenie ziemskie jest ogólny. Możemy go także stosować, aby policzyć przyspieszenie jakie by na nas działało na innych planetach, jeśli tylko znamy masę planety i jej promień.

Grawitacja wewnątrz Ziemi
Zastanawialiście się kiedyś, co by się stało, gdybyśmy wykopali długi tunel przez całą Ziemię i do niego wpadli? Aby odpowiedzieć na to pytanie zapoznajmy się z kolejnym twierdzeniem Newtona. Mówi ono, że Wypadkowa siła grawitacyjna, działająca na ciało znajdujące się wewnątrz jednorodnej powłoki kulistej, jest równa zero.
Gdy zbliżamy się do wnętrza Ziemi, to maleje odległość od jej wnętrza, więc siła rośnie. Jednak maleje także masa która na nas oddziałuje, ponieważ wypadkowa siła od powłok znajdujących się „nad nami” jest równa zero, więc siła także maleje. W przypadku Ziemi przeważa drugi powód, więc przy zbliżaniu się do wnętrza Ziemi będziemy coraz mniej przyciągani.
Teraz postarajmy się odpowiedzieć na nasze pytanie. Siłę działającą na ciało o masie możemy policzyć z prawa powszechnego ciążenia, jednak za masę musimy podstawić masę znajdującą się „pod nami”. Masa ta będzie się zmieniała z czasem, tak więc i siła będzie się zmieniała

.

Teraz musimy znaleźć związek pomiędzy a . Jak wiemy masa to gęstość pomnożona przez objętość, więc zakładając, że Ziemia jest jednorodna mamy

,

gdzie to gęstość Ziemi. Teraz, podstawiając do poprzedniego, wzoru otrzymamy

Jak widać jest wprost proporcjonalne do , więc jak maleje, to także maleje. Możemy zastąpić współczynnik przez , ponieważ jest stały i nie zmienia się wraz z . Więc

.

Równanie to do złudzenia przypomina prawo Hooke 'a dla sprężyny. Dlatego w warunkach idealnych po wpadnięciu w taki tunel, czulibyśmy się jak klocek na sprężynie, której położenie równowagi jest w środku Ziemi.

Energia potencjalna grawitacji i prędkości kosmiczne
Aby wyprowadzić wzór na energie potencjalną, musimy znaleźć pracę którą wykonuje pole grawitacyjne, bo ∆ .
(kropka to iloczyn skalarny), jednak nie jest stała i zmienia się wraz z odległością, dlatego musimy zastosować całkę.

Wyobraźmy sobie, że przesuwamy ciało o masie z punktu odległego od Ziemi o do nieskończoności. Praca jaką wykonuje pole grawitacyjne jest równa

.

Siła jest skierowana pod kątem 180 stopni względem przemieszczenia, dlatego iloczyn skalarny . Podstawiając to do wzoru, otrzymamy

.

Teraz możemy skorzystać z faktu, że ∆ . Energia potencjalna w punkcie odległym od Ziemi o R jest równa , zaś w nieskończoności możemy przyjąć, że energia potencjalna jest równa zero

(grawitacyjna energia potencjalna).

Teraz, znając wzór na energię potencjalną, wyobraźmy sobie że wystrzelamy pocisk o masie z powierzchni Ziemi. Chcemy wystrzelić go tak szybko, żeby już nie wrócił na Ziemię. Aby znaleźć prędkość jaką musimy mu nadać, skorzystajmy z zasady zachowania energii. Energia początkowa pocisku na powierzchni Ziemi jest równa , gdzie to promień Ziemi. Jeśli chcemy, aby pocisk już do nas nie wrócił, tzn. żeby zatrzymał się w nieskończoności, to energia końcowa pocisku będzie równa zero, ponieważ jak już wcześniej mówiliśmy, energia potencjalna w nieskończoności jest równa zero a energia kinetyczna będzie równa zero, ponieważ pocisk się zatrzyma. Tak więc z zasady zachowania energii wynika, że początkowa energia także musi być równa zero. Wyznaczając z równania na energię początkową otrzymamy

(druga prędkość kosmiczna).

Jest to tzw. druga prędkość kosmiczna, która mówi jaką prędkość trzeba nadać ciału, aby „uciekło” z planety o masie i promieniu .
Jak już się domyślacie, skoro jest druga prędkość kosmiczna, to musi być i pierwsza. Aby ją znaleźć, musimy sobie wyobrazić ciało o masie poruszające się po okręgu o promieniu , równym promieniowy Ziemi. Co prawda prawidłowe musi być trochę większe, inaczej nasze ciało poruszałoby się po powierzchni Ziemi, jednak możemy zastosować tu przybliżenie.

W ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa. Tu tą siłą jest siła grawitacji, więc możemy zapisać

.
Przyspieszenie dośrodkowe jest równe , więc

(pierwsza prędkość kosmiczna).

Jest to prędkość jaką trzeba nadać ciału, aby poruszało się po orbicie planety o masie . Promień orbity jest równy . Możemy ten wzór stosować, także dla innych wartości , nie tylko dla równej promieniowi planety.

Grawitacja jako najbardziej tajemnicze oddziaływanie w przyrodzie
Jak już mówiliśmy na początku grawitacja jest najbardziej niezbadanym oddziaływaniem. Równania Isaaca Newtona są już trochę przestarzałe i niezbyt dokładne. Nową teorię o grawitacji opracował Albert Einstein w XX w., która jest o wiele lepsza od grawitacji Newtona. Jednak to nadal za mało, więc to czym tak naprawdę jest grawitacja, jest wciąż pytaniem otwartym w fizyce.