Grupa abelowa

Grupa abelowa, nazywana inaczej grupą przemienną, jest grupą z działaniem przemiennym (przemienność, inaczej komutatywność to jedna z własności działań dwuargumentowych).

Grupę, oznaczaną jako G, , nazywamy abelową wtedy, gdy działanie w niej określone jest przemienne, czyli dla dowolnych zachodzi: a b = b a . Dla grup przemiennych stosuje się zapis addytywny. Wtedy aksjomat przemienności ma postać: a + b = b + a .

Wszystkie grupy, które nie są przemienne, nazywane są nieprzemiennymi lub nieabelowymi.

Przykłady własności grupy abelowej:
1.
Dla każdego oraz dla zachodzi wtedy, gdy jest przemienna.
2.
Z każdej podgrupy grupy abelowej można utworzyć grupę ilorazową, bo każda z nich jest normalna. Dla grup przemiennych przemiennymi są podgrupy, ilorazy i iloczyny proste.
3.
można zdefiniować jako ( czynników) oraz wtedy, jeżeli jest liczbą naturalną, a elementem grupy abelowej w zapisie addytywnym. W tej sytuacji staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych W istocie moduły nad mogą być utożsamiane z grupami abelowymi.
4.
Twierdzenia o grupach abelowych mogą być uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Dobrym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych.