Grupy

1. Czym tak właściwie jest grupa?

Grupą w matematyce nazywamy specyficzny zbiór liczb (oznaczany go zazwyczaj literą G) wraz z określonymi dla niego dwuargumentowymi działaniami (oznaczanymi ● lub też ), które są wewnętrzne, łączne i odwracalne.

Aby zbiór można było nazwać grupą, muszą zostać spełnione poniższe warunki, nazywane aksjomatami grupy:

1) Jako że działanie w grupie jest łączne, dla dowolnych argumentów a, b, c, należących do zbioru G musi zachodzić równość:

Na przykład:

2) Musi istnieć element neutralny e działania ●, taki, że dla każdego elementu a, który należy do zbioru G, prawdą jest iż:

Przykładowo:

3) Musi istnieć tzw. element odwrotny a’ dla każdego elementu a należącego do zbioru G, który będzie spełniał równość:

Na przykład:

2. Rodzaje grup.

a) Grupa przemienna (inaczej zwana grupą abelową) to grupa, w której działanie ● jest przemienne, czyli że dla dowolnych prawdziwa jest równość:

Na przykład:

ale już nie:

≠

Grupy przemienne możemy podzielić na takie, których działaniem ● jest:

–dodawanie – wtedy mówimy o grupie addytywnej;

–mnożenie – mowa o grupie multiplikatywnej.

b) Grupa skończona to grupa składająca się ze skończonej liczby elementów. Liczbę jej elementów określa się mianem rzędu tej grupy.

Przykładowo, zbiór czterech liczb (i jest tu jednością urojoną) nazwiemy grupą skończoną abelową rzędu 4. Elementem neutralnym tej grupy będzie liczba 1. Jeśli chodzi natomiast o elementy odwrotne, to dla elementu 1 będzie nim -1, dla -1 będzie 1, dla i będzie -i, a dla -i będzie to i.

Jeśli chodzi o zbiory liczb całkowitych, wymiernych oraz rzeczywistych, każda z nich jest grupą addytywną nieskończoną.

Elementem neutralnym jest liczba 0, natomiast elementem odwrotnym jest -a:

Przykładowo:

Innym zbiorem, który możemy określić mianem grupy, są wymierne liczby dodatnie. Jest to grupa względem mnożenia liczb.

Elementem neutralnym tej grupy jest 1, a elementem odwrotnym do elementu a będzie .

Na przykład: