Hiperbola

Hiperbola: Hiperbolą nazywamy krzywą, która jest zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów (tzw. ognisk) jest stała.

Wykresem funkcji gdzie jest hiperbola.

Własności funkcji
a) prosta o równaniu jest asymptota pozioma wykresu funkcji f(x)
b) prosta o równaniu jest asymptota pionową wykresu funkcji f(x)

Uwaga: Dla przypomnienia: asymptota to prosta, do której wykres funkcji się zbliża, lecz jej nie dotyka.

c) Dziedziną funkcji jest zbiór:
d) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór:

Numeracja ćwiartek układu współrzędnych – przypomnienie

-Jeśli > to wykres funkcji położony jest w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych

-Jeśli < to wykres funkcji położony jest w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych

-Jeśli > to wykres funkcji jest malejąca w swojej dziedzinie tj. w zbiorze

-Jeśli < to wykres funkcji jest rosnąca w swojej dziedzinie tj. w zbiorze

Wykresy funkcji hiperbolicznej – przykłady, ćwiczenia i zadania

Przykład 1. Powiedzmy, że naszym zadaniem jest narysowanie wykresu funkcji, która jest określona wzorem: .

Krok 1:[Zapiszmy dziedzinę funkcji f(x)]

Aby funkcja była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:
czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument (czyli liczby różne od zera):
Wyznaczmy wartość funkcji dla tych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Naniesienie punktów:

Wykres końcowy:

Przykład 1. Powiedzmy, że naszym zadaniem jest narysowanie wykresu funkcji, która jest określona wzorem: .

Krok 1[ Zapiszmy dziedzinę funkcji f(x)]

Aby funkcja f(x) była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd
czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla tych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Naniesienie punktów:

Szkicujemy wykres:

Zadanie:
Narysuj w układzie współrzędnych wykres funkcji określonej wzorem:

a)

b) (Uwaga: zauważ, że )

c)

d)

e)

Rozwiązania – Szkice wykresów:
Ad. a) Wykres:

Ad. b) Wykres:

Ad. c) Wykres:

Ad. d) Wykres:

Ad. e) Wykres:

Zadanie. Które z podanych punktów należą do wykresu funkcji określonej wzorem

Rozwiązanie:
Punkt należy do wykresu hiperboli ponieważ:

Punkt nie należy do wykresu hiperboli ponieważ:

Punkt należy do wykresu hiperboli ponieważ:

Funkcja jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej tj. funkcji o wzorze dla której
Dla której aby narysować wykres funkcji postępujemy według poniższego schematu:

W kroku 1: Wyznaczamy dziedzinę funkcji f(x).
W kroku 2: Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich. Wyniki umieszczając w tabeli dostając współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji f(x)
W kroku 3: Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz łączymy je. W taki sposób otrzymując wykres funkcji hiperbolicznej.

Ćwiczenie 1: Narysuj wykres funkcji określonej wzorem:
a)

b) (uwaga: zauważ, że )

c) (uwaga: zauważ, że )

d)

e)

Ad. a) Rozwiązanie:
Krok 1:[Wyznaczamy dziedzinę funkcji ]

Aby funkcja f(x) była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:

czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla wybranych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Naniesienie punktów:

Szkicujemy wykres:

Ad. b) Rozwiązanie:
Krok 1:[Wyznaczamy dziedzinę funkcji ]

Aby funkcja była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:

czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla wybranych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Nanosimy punkty:

Szkicujemy wykres:

Ad. c) Rozwiązanie:

Krok 1:[Wyznaczamy dziedzinę funkcji ]

Aby funkcja była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:

czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla wybranych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Nanosimy punkty:

Szkicujemy wykres:

Ad. d) Rozwiązanie:
Krok 1:[Wyznaczamy dziedzinę funkcji ]
Aby funkcja f(x) była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:


czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla wybranych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu x=3 otrzymujemy:

Dla argumentu x=4 otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Nanosimy punkty:

Szkicujemy wykres:

Ad. f) Rozwiązanie:

Krok 1:[Wyznaczamy dziedzinę funkcji ]
Aby funkcja była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:


czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla wybranych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu x=-2 otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Nanosimy punkty:

Szkicujemy wykres:

Jeżeli hiperbola leży tak, że jej osie symetrii leżą na osiach rzędnych i odciętych to możemy ją opisać równaniem:

Przykłady – Równania hiperbol z osiami symetrii leżącymi na osiach układu współrzędnych oraz ich wykresy:

a) Jeśli wtedy :
b) Jeśli wtedy :

Szkic wykresu hiperboli wygląda następująco dla podpunktów a) oraz b) :

Przykłady 2:
c) Niech oraz wtedy:
d) Niech oraz wtedy:

Szkic wykresu hiperboli wygląda następująco dla podpunktów c) oraz d):

Przykłady 3:
e) Jeśli wtedy hiperbola określona jest wzorem:
Szkic wykresu hiperboli wygląda następująco:

Uwaga: Jeżeli współczynniki występujące we wzorze: są sobie równe to to hiperbolę nazywamy hiperbolą równoosiową.

Przykład:
Niech wtedy hiperbola określona jest wzorem:
Szkic wykresu hiperboli wygląda następująco:

Przykład:

Zadanie: Wśród podanych równań wskaż równania hiperbol oraz jeśli podano równania hiperbol równoosiowych to narysuj ich szkic wykresu.
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)

Rozwiązanie:
Równania hiperbol: I), II), III), IV)

Hiperbole równoosiowe: II), III)

Szkic wykresu II):

Szkic wykresu III) zauważ, że szkic wykresu został już podany w poprzednim ćwiczeniu dla punktu a),b)

Zadanie: Poniżej podano trzy równania równań funkcji hiperbolicznych. Punkt o współrzędnych jest punktem, który należy do wykresu jednej z nich. Wskaż to równanie (odpowiedź uzasadnij):

I) ,
II)
III)

Rozwiązanie:
Odpowiedź: II -równanie
Uzasadnienie: