Hiperbola

Hiperbola: Hiperbolą nazywamy krzywą, która jest zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów (tzw. ognisk) jest stała.

Wykresem funkcji gdzie jest hiperbola.

Własności funkcji
a) prosta o równaniu jest asymptota pozioma wykresu funkcji f(x)
b) prosta o równaniu jest asymptota pionową wykresu funkcji f(x)

Uwaga: Dla przypomnienia: asymptota to prosta, do której wykres funkcji się zbliża, lecz jej nie dotyka.

c) Dziedziną funkcji jest zbiór:
d) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór:

Numeracja ćwiartek układu współrzędnych – przypomnienie

-Jeśli > to wykres funkcji położony jest w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych

-Jeśli < to wykres funkcji położony jest w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych

-Jeśli > to wykres funkcji jest malejąca w swojej dziedzinie tj. w zbiorze

-Jeśli < to wykres funkcji jest rosnąca w swojej dziedzinie tj. w zbiorze

Wykresy funkcji hiperbolicznej – przykłady, ćwiczenia i zadania

Przykład 1. Powiedzmy, że naszym zadaniem jest narysowanie wykresu funkcji, która jest określona wzorem: .

Krok 1:[Zapiszmy dziedzinę funkcji f(x)]

Aby funkcja była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd:
czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument (czyli liczby różne od zera):
Wyznaczmy wartość funkcji dla tych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Naniesienie punktów:

Wykres końcowy:

Przykład 1. Powiedzmy, że naszym zadaniem jest narysowanie wykresu funkcji, która jest określona wzorem: .

Krok 1[ Zapiszmy dziedzinę funkcji f(x)]

Aby funkcja f(x) była określona to w jej mianowniku wyrażenia nie może pojawić się liczba zero stąd
czyli dziedziną funkcji jest zbiór:

Krok 2:[Wybieramy dowolne argumenty należące do dziedziny oraz określamy wartości funkcji dla każdego z nich]

Powiedzmy, że wybrałeś dowolnie następujące argument:
Wyznaczmy wartość funkcji dla tych elementów.

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Dla argumentu otrzymujemy:

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Krok 3:[Umieszczamy wszystkie punkty w układzie współrzędnych oraz szkicujemy wykres]

Naniesienie punktów:

Szkicujemy wykres:

Zadanie:
Narysuj w układzie współrzędnych wykres funkcji określonej wzorem:

a)

b) (Uwaga: zauważ, że )

c)

d)

e)

Rozwiązania – Szkice wykresów:
Ad. a) Wykres:

Ad. b) Wykres:

Ad. c) Wykres:

Ad. d) Wykres:

Ad. e) Wykres: