Iloczyn

Iloczyn mnożenia przez jeden
Iloczynem mnożenia dowolnej liczby przez jeden jest czynnik znajdujący się obok czynnika 1. Liczba 1 jest nazywana elementem neutralnym mnożenia.
Przykłady mnożenie przez 1:
1)
2)
3)

Metoda obliczania iloczynu
Jedną z metod obliczania iloczynu jest ukazanie mnożenia w formie kolumn i wierszy. Podana metoda sprawdza się głównie w przypadku małych czynników. Duże czynniki nie opłaca się mnożyć w ten sposób, ponieważ zbyt dużo czasu to zajmuje.

Na powyższej ilustracji zamieszczone jest mnożenie . Dzięki tej wiedzy wiemy, że ilość wierszy wynosi 3, a ilość kolumn 4. Wyszła nam tabela, gdzie w wolnych miejscach zapisujemy, np. kropki. Na końcu liczymy ilość kropek. W przypadku mnożenia wynikiem, czyli iloczynem jest liczba 12, ponieważ znajduje się 12 kropek.

Przemienność
Mnożenie jest działaniem przemiennym, czyli nieważne w jakiej kolejności występują czynniki w mnożeniu, ponieważ iloczyn zawsze będzie wynosił tyle samo, np.

Tabliczka mnożenia
Tabliczka mnożenia, czyli pokazanie iloczynów mnożenia przez siebie czynników w formie tabeli. Najczęściej jest przedstawiana tabliczka mnożenia, której iloczynami są wyniki w przedziale od 1 do 100.
Przykładowa tabliczka mnożenia:

Wielokrotność liczby
Wielokrotnością liczby nazywamy liczbę będącą iloczynem liczby oraz iloczynem dowolnej liczby naturalnej.
Wielokrotności liczby 5 (od 5 do 50):










Iloczynami wynikającymi z wielokrotności liczby 5 są m. in. następujące liczby:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

Mnożenie pisemne
Mnożenie pisemne, czyli działanie, którego wynik nazywamy iloczynem wykonujemy w słupku. Mnożenie w słupku polega na tym, że jedną liczbę zapisujemy pod drugą liczbą. Mnożnik i mnożną przyrównujemy do prawej strony. Wynik mnożenia zapisujemy pod kreską.
Przykład mnożenia pisemnego liczb:

Obliczanie pola figur
Do obliczania pola dowolnej figury należy obliczyć iloczyn liczb. Podczas nauki w szkole podstawowej najczęściej do tej operacji wykorzystujemy iloczyn długości podstawy i wysokości figury.
Przykłady obliczania pola figur:

Na powyższym rysunku zamieszczony jest kwadrat. Do obliczenia pola kwadratu należy obliczyć iloczyn jego dwóch dowolnych boków, czyli:

Widzimy na powyższej ilustracji prostokąt. Jeżeli chcemy obliczyć pole prostokąta to należy obliczyć iloczyn długość podstawy i wysokości, czyli drugiego boku, który znajduje się pod kątem prostym w stosunku do podstawy, czyli:

Powyższa ilustracja przedstawia trójkąt. Jego pole oblicza się za pomocą wzoru , gdzie a to długość podstawy, a h to wysokość skierowana pod kątem prostym do podstawy.

Działanie mnożenia w nawiasach
Przy mnożeniu, w którym występują nawiasy należy pamiętać, że najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Dotyczy to wszystkich działań matematycznych, nie tylko mnożenia.
Przykłady:
Oblicz:
1)
2)
3)

Iloczyn a potęgowanie
Mnożenie i potęgowanie są podobnymi działaniami matematycznymi. Podstawa potęgi informuje nas jaką liczbę będziemy mnożyć przez siebie, a wykładnik ile razy, czyli:

Potęgowanie można sprowadzić do mnożenia, a wynikiem mnożenia jest iloczyn. Jednak wynikiem potęgowania nie jest iloczyn tylko potęga elementu.

Ciekawostka
Obliczanie iloczynu metodą mnichów z Shaolin
Mnisi z Shaolin obliczali iloczyn czynników za pomocą kresek. Każdą liczbę zapisuje się za pomocą równoległych kresek występujących w odpowiednich odstępach. Kreski prezentujące pierwszą liczbę muszą być prostopadłe do kresek prezentujących drugą liczbę. Następnie należy policzyć ile w całym układzie kresek znajduje się przecięć. Policzenie zawsze musi się odbywać na zasadzie przekątnych.

Na podstawie powyższego zapisu mnożenia metodą mnichów z Shaolin możemy dojść do wniosku, że iloczynem mnożenia jest liczba 3075, czyli .

W matematyce nie istnieje tylko jedno pojęcie związane z iloczynem – iloczyn jako wynik mnożenia. Istnieją różne pojęcia z nim związane. Poniżej znajdują się różne przykłady iloczynów.

Iloczyn zbiorów
Iloczynem zbiorów A i B (nazywany często częścią wspólną zbiorów, iloczynem mnogościowym lub przekrojem) nazywamy zbiór, którego elementy należą do zbioru A oraz należą do zbioru B. Iloczyn zbiorów A i B zapisujemy w sposób symboliczny jako , czyli
.

Graficzny sposób ukazania iloczynu zbiorów A i B:

Graficzny sposób ukazania iloczynu zbiorów A i B (za pomocą osi liczbowej):

Na powyższej osi liczbowej są zaznaczone zbiory A i B: , .
Zatem częścią wspólną, czyli iloczynem zbiorów A i B jest zbiór, w którym .

Podstawowe własności iloczynu zbiorów:

Przykłady:
1) Wyznacz iloczyn mnogościowy zbiorów A i B, w których , a
.

Z powyższych zbiorów wynika, że

Odp. Iloczynem podanych zbiorów A i B jest .

2) Wyznacz iloczyn zbiorów A i B, w których , a .

Z podanych zbiorów wyciągamy wniosek, że

Odp. Iloczynem zbiorów A i B jest zbiór .

Iloczyn logiczny
Iloczynem logicznym (inna nazwa to koniunkcja) nazywamy zdanie złożone, w którym p i q są jego zdaniami. Jeżeli zdania p i q są iloczynem logicznym to koniunkcję tych zdań w sposób symboliczny zapisujemy jako . Znak w logice oznacza spójnik „i”.

Wartość iloczynu logicznego zależy od wartości zdań p i q.

Jeżeli zdanie jest prawdziwe to przyjmuje ono wartość logiczną 1.
Jeżeli zdanie jest fałszywe to przyjmuje ono wartość logiczną 0.

Zależność wartości iloczynu logicznego od wartości p i q zapisana za pomocą tabelki:

p

Przykład:
Wyznacz wartość iloczynu logicznego poniższego zdania.
Każdy trójkąt ma trzy boki i trzy kąty proste.

Powyższe zdanie złożone możemy podzielić na zdania p i q. Pierwsze zdanie – p jest prawdziwe, czyli ma wartość logiczną 1. Natomiast drugie zdanie – q jest zdaniem fałszywym, więc ma wartość logiczną 0. Zatem iloczyn logiczny
p i q ma wartość logiczną 0, bo p = 1, q = 0.

Iloczyn kartezjański
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór uporządkowanych par (a, b) takich, że a należy do zbioru A oraz b należy do zbioru B. Symboliczny zapis iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B wygląda następująco: A x B. Pojęcie iloczynu kartezjańskiego jest związane z kartezjańskim układem współrzędnych.
Symboliczny zapis definicji iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y:
X x Y

Podobnym sposobem, jak w powyższej definicji postępujemy, gdy mamy do czynienia z więcej niż dwoma zbiorami, np. w przypadku trzech zbiorów:
A x B x C

Przykład:
Wyznacz iloczyn kartezjański zbiorów , .

Wyznaczam iloczyn kartezjański podanych zbiorów zgodnie z definicją.
A x B

Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym wektorów i nazywamy wektor , którego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, gdzie leżą wektory i . Zwrot powstałego wektora określa się tzw. „regułą prawej dłoni” lub „regułą śruby prawoskrętnej”. Długość otrzymanego wektora określa się wzorem . Kąt to kąt pomiędzy wektorami i . Iloczyn wektorowy nie jest przemienny!
Symboliczny zapis iloczynu wektorowego:

Wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor, a nie skalar, jak jest to w przypadku iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny wektorów
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy liczbę, która powstała przez przez dodanie do siebie iloczynów odpowiednich współrzędnych tych wektorów.
Iloczyn skalarny wektorów = i = wynosi:
=

Do obliczania iloczynu skalarnego wektorów możemy także użyć poniższego wzoru, gdy znamy długości wektorów i kąt pomiędzy wektorami.
= || ||

gdzie
– kąt między wektorami

Przykłady:
Oblicz iloczyn skalarny wektorów i , gdzie = i = .

=

Odp. Iloczyn skalarny podanych wektorów wynosi 17.

Długość wektora wynosi 5, a długość wektora wynosi 10. Kąt pomiędzy tymi wektorami wynosi 60°. Oblicz iloczyn skalarny tych dwóch wektorów.

Znamy długości tych wektorów i kąt pomiędzy nimi, czyli korzystamy z drugiego wzoru.
Możemy odczytać z tabelki funkcji trygonometrycznych, że ,więc:

= || || =

Odp. Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów wynosi 25.

Iloczyn mieszany
Iloczynem mieszanym nazywamy działanie charakterystyczne dla trzech wektorów w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Iloczyn mieszany określamy jako iloczyn skalarny jednego z wektorów i iloczyn wektorowy dwóch pozostałych. Zatem w przypadku dowolnych wektorów a, b, c iloczyn mieszany wygląda następująco:
(x). Do określania iloczynu mieszanego stosuje się macierze.

Iloczyn nieskończony
Iloczynem nieskończonym nazywamy iloczyn nieskończonej ilości liczb. Liczby te mogą być rzeczywiste lub zespolone.
Symboliczny zapis iloczynu nieskończonego:

Wartość (granicę) iloczynu nieskończonego zapisujemy w taki sposób:

Iloczyny grup
Iloczynami (produktami) grup nazywamy sposób tworzenia nowych grup z grup już istniejących. Iloczynami grup są nazywane również metody opisywania grup nowych, skomplikowanych z grup, które istnieją o mniejszym stopniu skomplikowania.

Ciekawostka
Iloczyn nie tylko w matematyce
Pojęcie iloczynu nie istnieje tylko i wyłącznie w matematyce. Iloczyn istnieje jeszcze w chemii, np. iloczyn jonowy i iloczyn rozpuszczalności. Iloczyn jonowy to typ uproszczonej równowagi autodysocjacji związków, a iloczyn rozpuszczalności to iloczyn podanych potęg stężeń jonów albo iloczyn potęg odpowiednich aktywności jonów.

ZADANIA
ZADANIE 1
Wojtek pisał sprawdzian z matematyki. Jedno z zadań brzmiało: „Wskaż, w którym z podanych działań znajduje się iloczyn. Następnie go podkreśl.”. Tydzień po pisaniu sprawdzianu nauczycielka rozdawała sprawdziany. Wojtek ucieszył się, ponieważ zaznaczył poprawną odpowiedź. Jaką odpowiedź zaznaczył Wojtek?
Oto działania, które znajdowały się na sprawdzianie:
1)
2)
3)
4)

Wskazówka: Iloczyn to wynik mnożenia. Symbolem mnożenia jest krzyżyk lub kropka.

Działanie nr 1 to dodawanie, działanie nr 2 to odejmowanie, działanie nr 3 to mnożenie, a działanie nr 4 to dzielenie, więc Wojtek zaznaczył działanie nr 3, a podkreślił iloczyn, czyli liczbę 9.

Odp. Wojtek zaznaczył działanie nr 3 – mnożenie, a podkreślił wynik mnożenia – iloczyn, czyli liczbę 9.

ZADANIE 2
W klasie 6A znajdują się 4 rzędy ławek. W każdym rzędzie jest po 6 ławek. W każdej ławce siedzi po dwóch uczniów.
Ile w klasie znajduje się uczniów?

Wskazówka: Do obliczenia ilości uczniów w klasie, najłatwiej jest pomnożyć liczbę ławek w rzędzie przez ilość rzędów oraz przez ilość uczniów siedzących w jednej ławce. Otrzymany wynik (iloczyn) jest rozwiązaniem tego zadania.

Odp. W klasie znajduje się 48 uczniów.

ZADANIE 3
Oblicz iloczyn liczb pierwszych jednocyfrowych, wiedząc, że liczby pierwsze jednocyfrowe to: 2, 3, 5, 7.

Wskazówka: Iloczyn to wynik mnożenia, czyli należy pomnożyć przez siebie podane w treści zadania liczby. Wynik mnożenia będzie rozwiązaniem tego zadania. W proponowanym rozwiązaniu pomnożymy przez siebie podane liczby krok po kroku.

Odp. Iloczyn jednocyfrowych liczb pierwszych wynosi 210.

ZADANIE 4
Uczniowi nudziło się w domu. Po chwili namysłu stwierdził, że pomnoży aktualną liczbę godzin przez aktualną liczbę minut. W tamtym momencie na zegarze była godzina 18:11. Ile wynosi iloczyn podanego mnożenia?

Wskazówka: Uczeń pomnożył liczbę godzin przez liczbę minut, czyli wykonał działanie . Iloczynem mnożenia jest wynik mnożenia.

Działanie możemy wykonać w pamięci, ale możemy też pomnożyć pisemnie.
Podane działanie możemy także zapisać jako:

Poniżej zamieszczone jest pisemne mnożenie tych liczb:

Odp. Prawidłowym wynikiem mnożenia, czyli iloczynem aktualnej liczby godzin przez aktualną liczbę minut jest liczba 198.

ZADANIE 5
W klasie Jacka uczy się dziesięcioro uczniów. Nauczycielka matematyki przywołała Jacka do tablicy i dała mu zadanie. Uczeń musiał wyznaczyć iloczyn wszystkich numerów z dziennika. Każdy uczeń ma przypisany osobny numer z dziennika od 1 do 10. Uczeń po chwili rozwiązał zadanie. „Prawidłowo rozwiązałeś zadanie Jacku” powiedziała nauczycielka. Jaki wynik podał Jacek? Wykonaj obliczenia.

Wskazówka: W podanym zadaniu należy pomnożyć ze sobą wszystkie liczby z przedziału od 1 do 10, czyli
. Otrzymany wynik będzie rozwiązaniem tego zadania. W proponowanym rozwiązaniu pomnożymy liczby ze sobą parami.

Otrzymaliśmy liczby, które trudno jest pomnożyć „w głowie”, dlatego najłatwiej (jeżeli nie mamy kalkulatora) jest nam pomnożyć te liczby pisemnie. Pomnóżmy najpierw , a potem otrzymany iloczyn przez liczbę 90.

Iloczyn podanego mnożenia wynosi 40320.
Teraz policzmy ile to jest .

Iloczyn powyższego mnożenia pisemnego wynosi 3 628 800.

Odp. Jacek stwierdził, że iloczyn numerów z dziennika od 1 do 10 wynosi 3 628 800.