Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszany wprowadzany jest zazwyczaj na studiach. Może pojawić się na przedmiotach matematycznych oraz fizycznych. Do opanowania zagadnienia iloczynu mieszanego konieczna jest znajomość podstawowych informacji o działaniach na macierzach.

Iloczyn mieszany zapisujemy w następujący sposób:

Współrzędne wektorów to:
a = (ax, ay, az)
b = (bx, by, bz)
c = (cx, cy, cz)
Wynikiem takiego działania będzie wyznacznik macierzy 3×3, której wierszami będą współrzędne wektorów.

Wyznacznik ten można obliczyć za pomocą różnych metod. Jednak pokażę teraz metodę Sarrusa.
Polega ona na dopisaniu dwóch pierwszych kolumn po prawej stronie.
det() =
Następnie obliczamy:

Mnożymy liczby zaznaczone na zielono i je następnie dodajemy.

ax * by * cz + ay * bz * cx + az * bx * cy

Następnie mnożymy liczby zaznaczone na zielono i odejmujemy je od powyższej sumy.

= ax * by * cz + ay * bz * cx + az * bx * cy – (az * by * cx) – (ax * bz * cy) – (ay * bx * cz)
Przykład:
Oblicz iloczyn mieszany wektorów:
a = (3, 4, 1)
b = (2, 2, 1)
c = (1, 3, -2)

= det() = =
= 2 * 2 * (-3) + 5 * 2 * 2 + 3 * 1 * 1 – (3 * 2 * 2) – (2 * 2 * 1) – (5 * 1 * (-3)) =
= -12 + 20 + 3 – 12 – 4 + 15 = 10

Odpowiedź: Iloczyn mieszany wektorów wynosi 10.