Iloczyn skalarny wektorów

Dane są dwa wektory, oznaczmy je:
= [u1, u2], gdzie u1 oraz u2 to współrzędne wektora
= [v1, v2], gdzie v1 oraz v2 to współrzędne wektora

Wzór na iloczyn skalarny wektorów:

=
Wynikiem iloczynu skalarnego jest liczba.

Przykład 1
Oblicz iloczyn skalarny wektorów = [5, 3] oraz = [2, 6].

=

Przykład 2
Oblicz iloczyn skalarny wektorów = [-5, 4] oraz = [1, -3].

=

Przykład 3
Dane są wektory = [3, u2] oraz = [-4, 7]. Wiedząc, że iloczyn skalarny wektorów jest równy 9, wyznacz współrzędną u2.

Najpierw należy podstawić do wzoru znane dane.

Następnie przenosimy niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą.

Przykład 4
Dane są wektory = [5, 3] oraz = [0, 0].
W tym przypadku (jeżeli wektor jest równy 0) oczywiście można podstawić dane do wzoru, natomiast wtedy wynikiem zawsze będzie 0.

Jeżeli w wyniku iloczynu skalarnego dostajemy 0, oznacza to, że jeden z wektorów był wektorem zerowym lub wektory są do siebie prostopadłe.

Przykład 5
Dane są wektory = [3, 3] oraz = [5, 2].
Można skorzystać z rozdzielności mnożenia względem dodawania, jeżeli obie współrzędne wektora są takie same.

=

Wzór na iloczyn skalarny wektorów (z długością wektorów oraz kątem pomiędzy wektorami)

Dane są dwa wektory
= [u1, u2], gdzie u1 oraz u2 to współrzędne wektora
= [v1, v2], gdzie v1 oraz v2 to współrzędne wektora
oraz dany jest kąt α pomiędzy wektorami.

=
gdzie oraz to długości wektorów, natomiast α to kąt pomiędzy wektorami.

Długość wektora obliczamy poniższym wzorem:

Przykład 1
Oblicz długość wektora = [3, 4].
=

Przykład 2.
Dany jest wektor = [6, 8]. Wiedząc, że wektor ma długość 4, a kąt pomiędzy wektorami jest równy 60° oblicz iloczyn skalarny wektorów.

Będziemy musieli skorzystać z drugiego wzoru, który uwzględnia długości wektorów oraz cosinus kąta pomiędzy wektorami.
Najpierw należy obliczyć długość wektora

Długość wektora wynosi 10. Następnie musimy obliczyć cosinus kąta pomiędzy wektorami. W tym celu korzystamy z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.
cos60° =

Następnie należy podstawić znane wartości do wzoru na iloczyn skalarny dwóch wektorów.

=

Podsumowując, iloczyn skalarny dwóch wektorów możemy obliczyć na podstawie różnych wzorów zależnie od posiadanych danych. Do obliczenia iloczynu skalarnego jest potrzebna nie tylko znajomość wzoru, ale także znajomość funkcji trygonometrycznych oraz umiejętność obliczania długości wektorów.