Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny – jest to funkcja dwuargumentowa, która przyporządkowuje dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną, czyli taką wielkość, która określana jest przez jedną liczbę rzeczywistą wraz z wymiarem wielkości fizycznej. Wartość skalarna może być również bezwymiarowa, czyli może nią być długość, objętość, pole powierzchni, temperatura, gęstość, potencjał pola grawitacyjnego lub praca. Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar czyli liczba. Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba równa iloczynowi modułów, czyli długości tych wektorów i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Wynikiem Iloczynu skalarnego dwóch wektorów: a= oraz b jest liczba, którą otrzymamy po dodaniu iloczynów odpowiednich współrzędnych.
a
Jeżeli znamy długość wektorów oraz kąt zawarty między wektorami, to iloczyn skalarny obliczamy:
a b |a | |b|
Iloczyn skalarny opisuje, jak oba wektory widzą siebie nawzajem. Na przykład dzięki zastosowaniu iloczynu skalarnego można obliczyć jak długi cień rzuca każdy z wektorów na drugi wektor, gdy kąt zawarty pomiędzy tymi wektorami wynosi lub φ . Przedstawia to poniższy rysunek:

B cos φ jest długością cienia, który rzucany jest przez wektor B na wektor A. Natomiast A cos φ jest długością cienia rzucanego przez wektor A na wektor B.

Zadanie:
Oblicz iloczyn skalarny dwóch wektorów: a=[1;2] b=[3;-5]
Rozwiązanie:
a b= [1,2] [3,-5]=
Odpowiedź:
Iloczyn skalarny wynosi -7.
Zadanie:
Oblicz iloczyn skalarny wiedząc, że kąt alfa zawarty między wektorami ma miarę 90°, a wektory to: a=[1;2] b =[-4;2]
Rozwiązanie:
Najpierw należy obliczyć moduł podanych wektorów:
|a|=
|b| =
Mając obliczone moduły, przechodzimy do obliczenia iloczynu skalarnego według wzoru:
a b = |a| |b|
– tą wartość podstawimy do wzoru

Odpowiedź: iloczyn skalarny dwóch podanych wektorów wynosi 0.

Na podstawie powyższego zadania można sformułować część własności iloczynu skalarnego:
1 . jeżeli iloczyn skalarny dwóch wektorów różnych od zera jest równy zeru, to oznacza to, że wektory są względem siebie prostopadłe.
2 . iloczyn skalarny może być równy zeru również wtedy, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym
3 . iloczyn skalarny jest przemienny:
a * b = b a
4 . jest rozdzielny względem dodawania wektorów:
(a b) = ( a ) + ( b )
5 . iloczyn skalarny jest łączny względem mnożenia przez liczbę:
(c a ) b = c (a b)
6 . iloczyn skalarny danego wektora przez ten sam wektor, jest równy kwadratowi modułu tego wektora:
a a

Zadanie:
Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b wynosi 1. Moduły długości tych wektorów wynoszą 2 oraz 1. Oblicz kąt zawarty między tymi wektorami.
Rozwiązanie:
mając podane moduły długości wektorów, nie musimy już ich wyznaczać wystarczy, że podstawimy do wzoru nasze dane:
|a| = 2 |b|=1 cos |a| |b|

|a| |b| cos =

|: 2

Z tablic matematycznych odczytujemy, że cosinus równy odnosi się do kąta

Odpowiedź: kąt zawarty między dwoma wektorami wynosi 60°.

Zadanie:
Sprawdź, czy trójkąt, który został wyznaczony przez dwa następujące wektory: |a|=[-3;5] i |b|=[4;2] jest trójkątem prostokątnym? Uzasadnij odpowiedź.
Rozwiązanie:
powyższe dane wstawimy bezpośrednio do wzoru na iloczyn skalarny dwóch wektorów:
a b=
a b =
Uzasadnienie:
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy -2, czyli jest różny od zera. Zgodnie z własnościami iloczynu skalarnego, trójkąt wyznaczony przez dwa powyższe wektory byłby trójkątem prostokątnym, jeżeli iloczyn skalarny byłby równy zeru. W naszym zadaniu: ≠ 0 więc trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym.

Zadanie:
Mając podany wektor a =[5;-4] znajdź iloczyn skalarny:
a a .
Rozwiązanie:
Współrzędne wektora a mamy podane, ale aby wyliczyć iloczyn skalarny, musimy obliczyć jeszcze dane wektora 2a

a

Mając dane wektora a oraz wektora 2a możemy obliczyć iloczyn skalarny, który równy jest sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów według wzoru:
a b=

a 2 a .

Odpowiedź: iloczyn skalarny a 2 a równa się