Izometria

IZOMETRIA
Izometria jest funkcją, która zachowuje odległości między punktami. W geometrii płaskiej dwie figury między którymi istnieje izometria nazywamy przystającymi. Inaczej, jeśli dwie figury są przystające, to mają one tyle samo boków i kątów, mają boki takiej samej długości i kąty tej samej miary, ich pola i obwody są równe. Wynika z tego, że jedną z tych figur można przekształcić w drugą za pomocą skończonej liczby obrotów i odbić zwierciadlanych.
Przystawanie:
Z poprzedniego akapitu wynika, że:
dowolne dwa punkty są przystające;
dwa odcinki są przystające, jeśli są równej długości;
dwa kąty są przystające, jeśli posiadają one równą miarę;
dwa okręgi lub dwa koła są przystające, jeśli mają promień równej długości;
dwa kwadraty są przystające, jeśli ich boki są równej długości;
Trójkąty są wielokątami, czyli mają boki i kąty, więc istnieje aż 5 cech przystawania trójkątów:
cecha bok-bok-bok (BBB) – przystawanie odpowiadających boków,
cecha bok-kąt-bok (BKB) – przystawanie dwóch boków i kąta pomiędzy nimi,
cecha kąt-bok-kąt (KBK) – przystawanie dwóch kątów i boku, który jest ramieniem tych kątów,
cecha bok-bok-kąt (BBK) – przystawanie dwóch boków i kąta naprzeciwko dłuższego boku,
cecha bok-kąt-kąt (BKK) – przystawanie dwóch kątów i boku leżącego naprzeciw jednego z nich.
Istnieją też cechy przystawania dowolnych wielokątów(n-kątów) m.in.:
cecha bok-kąt-bok-kąt…kąt-bok (BKBK…KB) – przystawanie (n-1) boków i (n-2) kątów między nimi,
cecha kąt-bok-kąt-bok…bok-kąt (KBKB…BK) – przystawanie (n-1) kątów i (n-2) boków między nimi.

przykład 1
Kwadrat 1 ma bok długości 5 cm, a kwadrat 2 ma przekątną o długości 10 cm. Czy te dwa kwadraty są przystające?
Rozwiązanie:
UWAGA: Twierdzenie Pitagorasa najczęściej używamy w trójkątach prostokatnych. Jego treść to:
W dowolnym trójkącie prostokatnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego to dwa boki tego trójkąta, które są ramionami jego kąta prostego. Natomiast przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest jego trzecim bokiem, kóry leży naprzeciwko tego kąta.
Wzór na twierdzenie Pitagorasa to:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b to długości przyprostokątnych, a c jest długością przeciwprostokątnej danego trójkąta prostokątnego.

Przekątną kwadratu obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
a2 + a2 = d2, gdzie a jest długością boku, a h długością przekątnej tego kwadratu;
d2 = 2a2, wyciągamy pierwiastek;
d = √(2a2)
d = a√2, podstawiamy długość boku kwadratu 1;
d = 5√2 cm
odp. Te dwa kwadraty nie są przystające.

przykład 2
Prostokąty ABCD i EFGH są przystające. Obwód prostokąta ABCD wynosi x. Różnica długości i szerokości prostokąta EFGH wynosi y. Ile wynosi pole prostokąta ABCD?
a) x = 2,6 dm y = 2 cm
b) x = 3 dm y = 12 cm

Rozwiązanie:
a) Najpierw zamieniamy decymetry na centymetry:
x = 2,6 dm = 26 cm
Wiemy, że prostokąty przystające mają równy obwód, więc obwód prostokąta EFGH wynosi też 26 cm.
Teraz oznaczmy jako a krótszy bok prostokąta EFGH. Wtedy drugi bok będzie miał długość a + 2 cm. Wynika z tego:
x = 2(a + a + 2)
26 cm = 2(2a + 2)
26 cm = 4a + 4, odejmujemy 4;
4a = 22 cm, dzielimy przez 4;
a = 5,5 cm
a + 2 = 5,5 + 2 = 7,5 cm
P = a*b
P = 5,5*7,5 cm
P = 41,25 cm2
odp. Pole prostokąta ABCD wynosi 41,25 cm2.

b) Najpierw zamieniamy decymetry na centymetry:
x = 3 dm = 30 cm
Wiemy, że prostokąty przystające mają równy obwód, więc obwód prostokąta EFGH wynosi też 30 cm.
Teraz oznaczmy jako a krótszy bok prostokąta EFGH. Wtedy drugi bok będzie miał długość a + 12 cm. Wynika z tego:
x = 2(a + a + 12)
30 cm = 2(2a + 12)
30 cm = 4a + 24, odejmujemy 24;
4a = 6 cm, dzielimy przez 4;
a = 1,5 cm
a + 12 = 1,5 + 12 = 13,5 cm
P = a*b
P = 1,5*13,5 cm
P = 20,25 cm2
odp. Pole prostokąta ABCD wynosi 20,25 cm2.