Jak obliczyć pole równoległoboku

Własności równoległoboku:
-posiada dwie pary baków równoległych, każda o takiej samej długości.
-suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180 stopni.
-jego przekątne dzielą się na połowy

Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru:
P=a*h
a – oznacza podstawę
h – oznacza wysokość

P=a*h1=b*h2

Przykład zastosowania w zadaniu:
Oblicz pole równoległoboku, gdy długość a wynosi 7cm, a h1 wynosi 4cm.
By to zrobić korzystam ze wzoru na pole równoległoboku P=a*h.
P=4cm*7cm=28cm2
Odpowiedź: Pole równoległoboku wynosi 28cm2.

Przypadek, w których znamy długości boków i kąt ostry zawarty między nimi

W trójkącie prostokątnym DEA możemy obliczyć sinus kąta α.

h = sin(α) * f
Teraz podstawiam zamiast h obliczoną zależność
P=e*h

P=e*f*sin(α)

Przykład zastosowania w zadaniu:
Jeden z boków równoległoboku ma 20cm, a drugi jest od niego o 40% krótszy. Kąt między tymi bokami wynosi 45 stopni. Oblicz pole równoległoboku.
Najpierw obliczam długość krótszego boku. Liczę ile to 40% z 20, a później odejmuję tę wartość od 20cm.

20cm-8cm=12cm długość krótszego boku równoległoboku
Zgodnie z tablicą trygonometryczną sinus kąta α wynoszącego 45 stopni wynosi .
By obliczyć pole równoległoboku korzystam ze wzoru, podstawiając wartości w odpowiednie miejsca :
P=e*f*sin(α)
P=12 * 20 * =
P= cm2
Odpowiedź: Pole równoległoboku wynosi cm2

Przypadek w którym znamy długości przekątnych i kąt ich przecięcia

Kąty α oraz 180- α są przyległe, czyli w sumie dają 180 stopni. Przekątne w tym równoległoboku to k i l, przecinają się na połowy. Pole równoległoboku składa się z dwóch pól trójkątów OBC oraz OAD – pola te wynoszą P1 , oraz dwóch pól trójkątów ABO oraz COD o polach P2. Najpierw obliczam pole trójkąta P1. Korzystam ze wzoru, w którym znane są długości dwóch boków i miara kąta między nimi:


Teraz liczę pole P2.

Skorzystam ze wzoru:
sin(180-α)=sinα


Pc – Pole całkowite równoległoboku
Pc =2P1+2P2=

Dodatkowo można zauważyć, że P1 = P2

Kolejny przykład:
Jeden z kątów leżących przy jednym boku równoległoboku jest o 60 stopni większy od drugiego. Wysokość opuszczona na podstawę ma miarę . Obwód tego równoległoboku wynosi 24, oblicz jego pole.

By lepiej wytłumaczyć wykonanie zadania zamieszczam rysunek:

Kąt wewnętrzny przy wierzchołku B i D wynosi α, a przy wierzchołku A i C wynosi 180 – α. Wykorzystując podane zależności między kątami układam równanie:
α+60=180-α
2α=120
α=60 stopni
W takim razie drugi kąt w równoległoboku ma miarę 180-60=120 stopni.
W trójkącie prostokątnym DAE miary kątów wewnętrznych wynoszą:
kąt AED jest równy 90 stopni
kąt ADE jest równy 60 stopni
kąt EAD jest równy 120 stopni – 90 stopni = 30 stopni
W trójkątach prostokątnych o kątach 90; 60; 30 stopni można znając długość jednego boku obliczyć długość pozostałych. W wymienionym trójkącie znana jest długość boku h, która jest równa . Długość odcinka DE jest równa 2, a odcinka DA jest równa 4 – jest to długość boku b równoległoboku.
Korzystam z informacji, że obwód równoległoboku wynosi 24. Obwód równoległoboku oblicza się ze wzoru:
Obw = 2a + 2b
24 = 2a + 8
16 = 2a
a=8
Obliczam pole równoległoboku ze wzoru P = a*h
P = 8 *
P=

Odpowiedź: Pole równoległoboku jest równe .