Jednomian

Jednomian – co to takiego?

Jednomian – być może nazwa brzmi dosyć dziwie, nie mniej jednak w rzeczywistości jednomian to całkiem przyjemne wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą zmienną lub iloczynem liczb i zmiennych. Jednomian składa się ze zmiennej i liczby (współczynnika), który stoi obok niej. Zazwyczaj jest przedstawiany w porządku alfabetycznym, chociaż nie jest błędem zapisanie go w innej kolejności, ponieważ mnożenie jest przemienne. Dla zachowania ładu i przejrzystości lepiej zapisać go w kolejności alfabetycznej.

OGÓLNY WZÓR JEDNOMIANU:
axn

gdzie ,,a” oznacza współczynnik jednomianu, ,,x” jest zmienną, a ,,n” stopniem jednomianu.

PRZYKŁADY JEDNOMIANÓW: 5x; 3y; 2; 1i; -10h; -40p; -21; -47,5c; 0,219abcdexyz; -167rsxyz

Warto dodać, że jednomiany są do siebie podobne, kiedy występują w nich takie same zmienne, które mają jednakowe potęgi:

0,75xyz4 oraz 97,7sz4 są podobne, ponieważ zmienna ,,z” ma tę samą potęgę w obu wyrażeniach.
12x oraz 13x2 nie są podobne ze względu na różne potęgi.

Co ciekawe można mnożyć dowolne wielomiany, a ich iloczyn też będzie jednomianem.
Jednak, jeśli chodzi o dodawanie jednomianów, to można dodawać tylko jednomiany podobne czyli redukować wyrazy podobne.

Jednomiany tworzą wyrażenia algebraiczne np.:
5x + 4
12x2 – 3x + 4y – 2
78x3 – 15y2 – y + 23.

Zmienna w jednomianie oznacza literę, a współczynnik liczbę.

Każdy jednomian musi mieć swój współczynnik liczbowy, a kiedy nie jest on zapisany to oznacza, że wynosi 1.

Jednomiany połączone ze sobą znakami dodawania czy odejmowania są nazywane wielomianami. W zależności od ilości jednomianów w wyrażeniu możemy wyróżnić np. dwumiany i trójmiany. Dwumiany to takie jednomiany, które składają się z dwóch jednomianów np. 3x – 2, natomiast trójmiany z trzech np. 7y2 – 3y + 2.

Często w podręcznikach możemy znaleźć zadania takie jak przedstawienie jednomianu w postaci uporządkowanej i otrzymujemy przykładowe wyrażenie:

3x * 2x2 * x12 * 2x7 * x = ?

Aby je rozwiązać należy przyjrzeć się uważnie wszystkim jednomianom i sprawdzić, co da się zrobić.
W tym przypadku musimy wykonać konieczne mnożenie i sprawdzić, jaki otrzymamy wynik. Korzystając ze znajomości kolejności wykonywania działań mnożymy:

3x * 2x2 * x12 * 2x7 * x =
6x3 * x12 * 2x7 * x =
6x15 * 2x7 * x =
12x22 * x =
12x23

Na tym etapie kończymy rozwiązywanie naszego działania, otrzymując na sam koniec jednomian 12x23.

Innym razem możemy dostać przykład, który wygląda znacznie gorzej lub trudniej:

2x2y * 3xyz * 7xyz9 = ?

Po raz kolejny wykonujemy działania w odpowiedniej kolejności:

2x2y * 3xyz * 7xyz9 =
6x3y2z * 7xyz9 =
42x4y3z10

I znowu kończymy nasze działania na etapie, w którym osiągnęliśmy ostateczny wynik jakiego nie zdołamy już bardziej uprościć, czyli 42x4y3z10.

Innym typem zadania jest wskazanie współczynnika liczbowego. Możemy łatwo go odnaleźć bazując na poprzednich przykładach:

12x23 – współczynnik liczbowy naszego jednomianu wynosi 12
42x4y3z10 – współczynnik liczbowy naszego jednomianu wynosi 42.

Równie dobrze możemy otrzymać jeszcze inne zadanie składające się z wielu różnych jednomianów:

12x13 – 16x2 + 50a2 – 27b13 – 49a2 + 12b13 = ?

Przystępujemy do rozwiązania zadania zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Na początku musimy sprawdzić, czy są wyrazy podobne – jeśli tak, to trzeba się nimi zająć:

12x13 – 16x2 + 50a2 – 27b13 – 49a2 + 12b13 =
12x13 – 16x2 + a2 – 15b13

Kiedy już zajęliśmy się wyrazami podobnymi teraz czeka nas następny etap rozwiązania tego zadania. Musimy uporządkować jednomian w kolejności alfabetycznej (uwaga na znaki :)) :

12x13 – 16x2 + a2– 15b13 =
a2 – 15b13 – 16x2 + 12x13

W tym momencie nie możemy już dalej działać z naszym przykładem przez wzgląd na różne zmienne i potęgi.

Jednomiany będą prowadzić nas do wielomianów, które z kolei wiążą się coraz mocniej z wyrażeniami algebraicznymi. Należy dobrze opanować jednomiany, żeby móc się pewnie czuć w wielomianach i dalszych dziedzinach matematyki. Dobrze jest skupić się na nauce jednomianów w momencie, kiedy jest na to szansa i nie ociągać się, by nie robić sobie zaległości. Z początku jednomiany mogą wydawać się mało interesujące i trudne, ale kiedy się je bliżej pozna można szczerze przyznać, że są bardzo przyjemne (nawet w nauce).

Przy jednomianach należy dobrze operować działaniami na potęgach i kolejnością wykonywania działań. Kiedy nie zna się dobrze tych poprzednich etapów matematycznych można popełnić mnóstwo niepotrzebnych błędów. Tak samo nie znając jednomianów trudno przejść od razu do wielomianów tak, żeby umieć je zrozumieć.

Jednomiany mają duże znaczenie przy długich wyrażeniach algebraicznych. Znając je możemy sobie uprościć siejące grozę działania i nacieszyć oczy dużo lepiej wyglądającym równaniem. Przykładowo możemy rozwiązać i uprościć następujące wyrażenie:

((a + b)2 + a2 – b2) = ?

Oczywiście są to połączone znakiem dodawania dwa różne wzory skróconego mnożenia, które same w sobie dla uczniów wyglądają przerażająco, ale zaraz się przekonamy, że nie jest wcale tak źle, jak się nam wydaje.

((a + b)2 + a2 – b2) =
(a2 + 2ab + b2 + (a – b)(a + b)) =
(a2 + 2ab + b2 + a2 + ab – ab – b) =
a2 + 2ab + b2 + a2 + ab – ab – b

Kiedy mamy już długie i dziwne wyrażenie algebraiczne następuje redukcja wyrazów podobnych, która znacznie uprości to wyrażenie.

a2 + 2ab + b2 + a2 + ab – ab – b = 2a2 + 2ab + b2 – b
2a2+ 2ab + b2 – b

Końcowe wyrażenie to: 2a2+ 2ab + b2 – b, które wygląda dużo lepiej niż po początkowym rozwinięciu.

To już wszystko, co warto wiedzieć o jednomianach. Przede wszystkim nie wolno się ich bać! Są to logiczne wyrażenia, które przy odrobinie dobrej woli każdy może opanować :). Pamiętajmy: strach ma wielkie oczy!