Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna jest zależnością występującą pomiędzy sinusem i cosinusem tego samego kąta, twierdzącą, że suma kwadratów sinusa i cosinusa danego kąta zawsze wynosi jeden. Spełnia się dla kątów każdej miary (nie tylko kątów ostrych). Możemy ją wyrazić wzorem:

Przypomnienie: Zapis oznacza to samo co , analogicznie dla innych funkcji trygonometrycznych.

Jedynka trygonometryczna została odkryta pod koniec VII wieku, przez hinduskiego matematyka Brahmaguptę, pozwalając mu na stworzenie jednej z pierwszych tablic matematycznych zawierających wartości sinusa. Przedstawiana była z początku w lekko zmienionej postaci: , ostatecznie sprowadzając się jednak do tej samej zależności.

Jedynkę trygonometryczną można również przedstawić jako wzór:

Występująca w tym wzorze funkcja trygonometryczna oznaczana jako to secans. Stanowi odwrotność cosinusa ( ). W dowodzie skorzystamy również z wzoru .

Dowód:






W ten sposób jesteśmy w stanie wrócić do pierwotnego wzoru jedynki trygonometrycznej.

Przypomnienie:
Dla różnych wartości kąta funkcje trygonometryczne przyjmują następujące znaki:


Jedynka trygonometryczna uzależnia wartość sinusa danego kąta od cosinusa tego samego kąta, pozwalając nam obliczyć wartość jednego z nich na podstawie drugiego. Dla przykładu, rozważmy takie zadanie:

Wartość sinusa kąta ostrego wynosi . Ile wynosi ?

Rozwiązanie:

Wiedząc, że , podstawiamy do wzoru .




Uwaga! Przy obustronnym pierwiastkowaniu należy pamiętać o zniesieniu kwadratu na moduł.

Z polecenia wiemy, że jest kątem ostrym, a cosinus kąta ostrego przyjmuje zawsze wartość dodatnią. Oznacza to, że moduł nie wpłynie na wartość , więc możemy go znieść.

Odpowiedzią jest .

Skąd zatem bierze się ta zależność? Okazuje się, że można ją udowodnić, ustalając współrzędne punktów na okręgu jednostkowym.

Przed przejściem do dowodu, przypomnij sobie równanie okręgu: . Równanie to spełnia każdy punkt leżący na okręgu o promieniu r, o środku w punkcie (0, 0). W dowodzie użyjemy również definicji sinusa i cosinusa: dla dowolnego punktu w układzie współrzędnych P(x, y), gdy P ≠ (0, 0) możemy przeprowadzić półprostą wychodzącą z punktu (0, 0) i przechodzącą przez punkt P. Kąt pomiędzy tą półprostą, a dodatnią półprostą osi OX nazwijmy . Wtedy , a .

Dowód:

Na początku, rysujemy na układzie współrzędnych okrąg jednostkowy (o promieniu równym jeden).

Wybieramy dowolny punkt na okręgu i prowadzimy przez niego półprostą wychodzącą z punktu (0, 0).

Z definicji sinusa i cosinusa wynika, że i , czyli oraz . Wiemy także, że ponieważ punkt P leży na okręgu jednostkowym, musi spełniać równanie okręgu dla promienia r równego 1.

Podstawiając wartości wynikające z definicji funkcji trygonometrycznych:

W ten sposób dowodzimy zależność jedynki trygonometrycznej.

Jedynkę trygonometryczną możemy również zastosować do wyznaczenia tangensa kąta, jeśli znamy już wartość jego sinusa bądź cosinusa.

Zadanie:
Jeśli , a , to ile wynosi tangens kąta ?

Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia z jedynki trygonometrycznej.

Pierwiastkujemy obustronnie, pamiętając o zniesieniu na moduł.

Ponieważ , to punkt leżący na półprostej o kącie o mierze pomiędzy tą półprostą, a dodatnią półprostą osi OX znajdzie się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, co oznacza, że < 0, czyli:

Teraz, w celu obliczenia tangensa z kąta , musimy skorzystać z wzoru .

Zatem odpowiedź wynosi .

Istnieje również alternatywny dowód na jedynkę matematyczną. Jest on wyprowadzany ze wzoru Eulera, rozszerzającego definicje funkcji trygonometrycznych, tak, aby ich dziedzina obejmowała liczby zespolone. Liczba zespolona jest to liczba definiowana jako , gdzie , a jest stałą o wartości definiowanej jako rozwiązanie równania . We wzorze Eulera znajduje się również liczba Eulera, oznaczona literą . Przyjmuje ona stałą wartość niewymierną, w przybliżeniu równą 2,718.

Dowód:
Wzór Eulera ma postać:

Z tego wzoru można ułożyć układ równań:

Ponieważ sinus jest funkcją nieparzystą (), a cosinus funkcją parzystą ():

Dodajemy lewą i prawą stronę obu równań.

Zamiast dodać obie strony równań do siebie, możemy je odjąć, aby otrzymać:

Stąd otrzymujemy dwa wzory:

Podstawiając do wzoru jedynki trygonometrycznej:

=

Z definicji liczby wynika, że , zatem:

=

Rozszerzając pierwszy z ułamków przez -1:

Jako że oba ułamki mają teraz wspólny mianownik, możemy dodać ich liczniki:

Wszystkie potęgi z liczbą w podstawie redukują się wzajemnie i pozostajemy z ułamkiem:

Co udowadnia, że zależność jedynki trygonometrycznej pozostaje prawdziwa dla zbioru liczb zespolonych.