Kąt

Kat jest takim obszarem, który wyznaczany jest przez dwie półproste, nazywane ramionami kąta. Te półproste mają wspólny początek, który nazywany jest wierzchołkiem kąta.

W zależności od rozwartości kąta, czyli jego miary w stopniach ( ° ), wyróżnia się różne katy. Mianowicie:
1. Kąty o rozwartości większej od 0°, ale mniejszej od 90° to kąty ostre.
2. Katy o rozwartości większej od 90° i mniejszej od 180° to kąty rozwarte.
3. Katy o mierze równej 90° to kąty proste.
4. Kąty o rozwartości 180° to kąty półpełne.
5. Kąty, które mają 360° to kąty pełne.
6. Kąty wklęsłe o rozwartości większej niż 180° i mniejszej niż 360° to kąty wklęsłe.
7. Kąty wypukłe mają miarę równą bądź mniejszą niż 180°. Zaliczają się do nich kąty: półpełne, proste, rozwarte i ostre.

Różne rozwartości kątów mają różne własności. Dzięki nim można ustalić miarę danego kąta, znając wartość innego. Jest ich kilka, dlatego przedstawię je poniżej:
1. Kąty przyległe są takimi dwoma kątami, które są wypukłe i mają wspólne jedno ramię, leżąc jednocześnie na tej samej prostej. Ich suma miar zawsze wynosi 180°. Oczywiście nie muszą to być dwa kąty – może ich być trzy, cztery lub tyle, ile się chce. Wtedy suma nie dwóch, lecz wszystkich kątów równa się 180°.

2. Kąty wierzchołkowe są zawsze tylko dwoma kątami. Mianowicie te dwa kąty mają wspólny wierzchołek, a tworzą je tylko dwie proste. Aby je narysować, najpierw trzeba narysować dowolny kąt. Następnie należy przedłużyć oba ramiona tego kąta w taki sposób, aby powstały dwie proste przecinające się. Teraz zostało tylko zaznaczyć dwa pożądane kąty. Natomiast dwa niezaznaczone również są kątami wierzchołkowymi, lecz o innej mierze niż pozostałe dwa kąty.

3. Kąty naprzemianległe są takimi dwoma kątami, które w dużym uproszczeniu można zobrazować jako kąty wierzchołkowe, lecz rozstawione w odległości – tak, jakby jedną prostą zamienić na dwie, po czym je rozciągnąć od siebie.

4. Kąty odpowiadające są parą kątów, których jednym ramieniem jest prosta, która przecina dwie kolejne równoległe proste, które są drugim ramieniem każdego z kątów. Leżą one po tej samej stronie przecinającej prostej.

Kąty skierowane są takimi kątami, gdzie ramiona nazywane są: jedno – ramieniem początkowym, drugie – ramieniem końcowym. Dwie półproste, z których zbudowane są kąty, w kątach skierowanych są uporządkowane. Natomiast kąty skierowane przeciwne ramiona mają uporządkowane w odwrotnej kolejności. Zaznacza się je tak jak wszystkie kąty (dwie półproste i łuk łączący je), ale łuk kończy się strzałką. Wtedy ramię, na które wskazuje strzałka jest ramieniem końcowym. Zwrot kąta skierowanego oznacza, w którym kierunku trzeba obrócić ramię początkowe tak, aby uzyskać ramię końcowe. Dzięki tej własności określa się wartość dodatnią lub ujemną. Aby to stwierdzić, można to łatwo zobrazować, gdyż definicja jest ciężka do zrozumienia. Dlatego jest to tylko obraz jak stwierdzić, czy kąt skierowany ma wartość dodatnią czy ujemną i nie jest to definicja: jeśli strzałka wskazuje ruch zgodnie ze wskazówkami zegara, to jest to kąt skierowany ujemny, a jeśli wskazuje kierunek przeciwny do ruchu wskazówek, to jest to kąt skierowany dodatni.
To jest przykładowy kąt skierowany dodatni:

Kąt wewnętrzny dotyczy figur. Inaczej można nazwać je wielokątami. Wierzchołek kąta wewnętrznego jest wierzchołkiem danego wielokąta, a jego ramiona – dwoma sąsiednimi bokami. Jeśli znamy tylko liczbę boków danego wielokąta lub liczbę wszystkich wierzchołków, gdyż ich liczba zawsze jest taka sama, to możemy obliczyć sumę miar kątów wewnętrznych. Jest na to wzór:
radianów .
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego również ma wzór opisujący obliczenie jego miary. Wielokąt foremny ma daną liczbę boków, gdzie wszystkie kąty wewnętrzne mają taką samą miarę. Opisuje to wzór:
.
Wielokąty foremne mają przynajmniej 3 boki. Kąty wewnętrzne danego wielokąta foremnego mają miarę:
trójkąt równoboczny – 60°,
czworokąt foremny (kwadrat) – 90°,
pięciokąt foremny – 108°,
sześciokąt foremny – 120°,
siedmiokąt foremny – 128°,
Sprawdźmy to za pomocą powyższego wzoru dla pięciokąta foremnego:
.
A teraz sprawdźmy, jaka jest suma miar wszystkich kątów wewnętrznych tego pięciokąta foremnego na dwa sposoby:
Kiedy wiemy, że kąt wewnętrzny ma 108°:
.
Lub według wzoru:
.