Kąty wierzchołkowe

Co to tak właściwie jest kąt wierzchołkowy?

Myślę, że aby zrozumieć to pojęcie najlepiej zacząć od tego co to w ogóle jest kąt.

Kąt składa się z dwóch półprostych i wierzchołka. Jednak bezpośrednio w kącie będą się one nazywać ramiona. W miarę jak szeroki jest kąt pomiędzy dwoma półprostymi możemy rozróżnić ich aż sześć rodzajów.

Pierwszym i najmniejszym w szerokości są kąty ostre. Mogą mieć miarę do 90o. Drugim co do wielkości jest kąt prosty. On ma miarę zawsze 90o. Nigdy mniej i nigdy więcej. Natomiast kąt większy niż 90o, a mniejszy niż 180o określa się mianem kąta rozwartego. Dalej mamy kąt półpełny. Jest on dwa razy większy od kąta prostego co znaczy, że ma 180o. Kąt większy od półpełnego nazywa się wklęsły. Ma on miarę od 180o do 360o. Największym kątem jest kąt pełny. Ma on miarę 360o. Przypomniałam wam w ten sposób kąty.

My mamy się jednak zająć trochę innym ich rodzajem. Oprócz kątów, które przedstawiłam powyżej istnieją też kąty przyległe i wierzchołkowe. Wyobraźcie sobie dwie proste przecinające się na wzajem na kształt krzyża. Nie jest to jednak tylko taki sobie znak. Jeżeli ktoś zainteresuje się bardziej zobaczy, że można tam wyznaczyć te dwa rodzaje kątów. Zacznijmy od kątów przyległych , a potem przejdziemy do naszych gwoździ programu czyli kątów wierzchołkowych. Przejdźmy więc do rzeczy. Na początek przytoczę wam definicje:

Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

Na razie będą nam potrzebne tylko sąsiadujące kąty więc jedną z prostych zmieńcie na półprosta . Powstają tam dwa kąty. Jedno ramię mają wspólne. Leżą również na tej samej prostej. Oto i kąty przyległe. Mogę dodać że razem mają miarę zawsze równą 180o. Trzeba jednak zaznaczyć, że mogą być tylko dwa przyległe kąty. Jeżeli mamy ich trzy i więcej to nie wszystkie ze sobą sąsiadują. Obliczając je często jest to bardzo przydatne, ale przejdźmy do sedna sprawy. Kąty wierzchołkowe. Ponownie zacznijmy od definicji.

Kąty wierzchołkowe mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

Jeszcze raz pomyślcie o tej naszym krzyżu z dwoma już prostymi. Mamy tam też cztery kąty. weźmy sobie jeden z nich. załóżmy, że ma miarę 37o. Jak możecie zauważyć mamy tam cztery kąty przyległe do siebie. Wiemy zatem, że dwa kąty sąsiadujące z naszym 37o będą miały miarę 143o, bo:

180o-37o=143o

Na tej właśnie podstawie działają kąty wierzchołkowe. Zaznaczcie to sobie i wtedy zobaczycie, że… To są kąty, które stykają się wierzchołkami, czyli kąty wierzchołkowe! Zaznaczmy, że zarówno kąty przyległe jak i nasi bohaterowie nie mogą być ani wklęsłe ani pełne. Półpełne mogą występować, ale wtedy drugi kąt musi być równy 0o. Wszystkie kąty razem mają miarę 360o. Skoro wiemy już jak działają kąty wierzchołkowe spróbujmy rozwiązać jakieś zadanie:

Beata narysowała na kartce papieru prostą i półprostą. Zmierzyła, że jeden kąt powstały w czasie tego zabiegu jest pięć razy mniejszy niż drugi. Potem dziewczynka przedłużyła półprostą tak, że finalnie były z tego dwie proste. Oblicz miarę wszystkich kątów na tym rysunku.

To zadanie nie jest ani odrobinę skomplikowane. Poniżej zaprezentuję wam najprostszy sposób na jego rozwiązanie.

Zacznijmy od obliczenia mniejszego i większego kąta. Wiemy, że razem mają 180o. Wiemy też, że jeden kąt jest pięć razy większy niż drugi, więc podzielmy go na pięć części wielkości mniejszego kąta. Razem mamy takich części sześć:

180o:6=30o

Zatem wiemy już, że mniejszy kąt ma miarę 30o. Ponieważ większy kąt jest pięć razy większy wystarczy:

30o*5=150o

Zatem znamy już kąty przyległe. Przejdźmy więc do naszych bohaterów, kątów wierzchołkowych. W tym momencie nie są nam potrzebne żadne działania. Wystarczy, że wiemy, że kąty stykające się wierzchołkami mają taką samą miarę. Wiedząc już wszystko trzeba jeszcze napisać odpowiedź

Beata narysowała dwa kąty o mierze 150o, a kolejne dwa mają miarę 30o.

Myślę, że opisałam wam kąty wierzchołkowe wystarczająco dobrze. Starałam się opowiedzieć o nich jak najlepiej.