Kombinatoryka

Zacznijmy od wyjaśnienia sobie, czym jest ta kombinatorka.
Otóż kombinatorka jest to dział matematyki, który zajmuje się obliczanie wszystkich możliwości wyboru, różnych kombinacji (czyli kilka jakichś wyników lub czegoś), co znaczy, że z kombinatorki korzystamy, gdy chcemy poznać wszystkie możliwości, dla różnych sytuacji. Ze względu, na to że kombinatorka służy obliczaniu wszystkich możliwych sytuacji, jest ona wykorzystywana w:
-prawdopodobieństwie
By obliczyć wartość kombinatorki, nie trzeba znać nader skomplikowanych wzorów, wystarczy, tylko, że znasz regułę mnożenia i sposoby liczenia jej wartości dla różnych sytuacji (pierwszy podany przeze mnie wzór to ogólna postać w takim przypadku wynikająca z moich własnych obserwacji, gdy druga to już jest bardziej wzór wykorzystywany przez matematyków):
-w przypadku, gdy po wykonaniu jakiejś czynności nie pozbywamy się, żadnego czynnika składającego się na liczbę możliwości w pierwszym i kolejnym następnym losowaniu, wtedy liczbę wszystkich możliwości liczymy z wzoru:

gdzie:
C- wszystkie możliwości
x- ilość elementów składających się na sytuację
n- liczba losowań

-w przypadku, gdy za każdym razem przy losowaniu, usuwamy/ odrzucamy jakąś sytuacje, wtedy wzór ma postać:

gdzie:
C- wszystkie możliwości
n- ilość elementów składających się na sytuację
k- ilość losowań

Skoro mamy omówione, jak obliczyć wszystkie możliwości, czas na zadania z kombinatorki

Zad. 1
w klasie jest 24 uczniów. Oblicz, na ile sposobów można wybrać trójkę klasową?

Rozwiązanie:
Każdy z nas wie, że jedna osoba nie może być jednocześnie skarbnikiem, zastępcą przewodniczącego i przewodniczącym (skład trójki klasowej), dlatego z każdym kolejnym wyborem, będzie o jeden wybór mniej, dlatego skorzystamy z drugiego wzoru:

Czyli trójkę klasową można wybrać na 2024 sposobu [za dwa lata, będzie ten sam rok :):):):):):):)]

zad. 2
W losowaniu nagrody pieniężnej bierze udział 70osób. Do rozdania są dwie główne nagrody. Ile jest możliwości wyboru zwycięzcy, jeśli każda osoba może wygrać dwa razy?

Rozwiązanie:
Skoro każda osoba może wygrać, to możemy skorzystać z pierwszego wzoru, lecz pamiętaj ,że w zadaniu jest mowa, o tym, że każda osoba może wygrać dwa razy, więc trzeba tu rozpatrzyć dwie sytuacje:
pierwsza- obie nagrody mogą wygrać dwie osoby
druga- obie nagrody może wygrać jedna osoba

Dlatego do obliczenia (te z użyciem pierwszego wzoru) będą dotyczyć tylko pierwszego (omówionego) przypadku, więc, żeby wyszedł wynik wszystkich możliwych wygranych, musimy dodać jeszcze 70 do wyniku:

Mamy to, o co nas pytają, więc możemy dać odpowiedź:
Odp.: Jest 4970 możliwości wylosowania zwycięzcy/ zwycięzców nagród głównych.

Zad. 3
Na loterii jest 60 losów i tylko 5 z nich jest wygranych. Każdy z losów jest oznaczony inną literą oprócz losów wygranych, które mają ten sam numer. Ile jest możliwości wylosowania losów, jeśli każdy losuje dwa razy, a po losowaniu, los bierze ze sobą.

Rozwiązanie:
Na początku zauważmy, że te 5 losów wygranych, jest takich samych, więc, będziemy traktować te wygrane losy jako 2 losy, ze względu, na to, że jest szansa, że ktoś wylosuje 2 losy wygrane, a ze względu na to, że w te 60 losów jest wpisane/ dołączone do nich 5 losów wygranych, dlatego, będziemy wszystkie możliwości do liczby o 3 mniejszej od wszystkich losów (5-2-3), więc wszystkich elementów składających się na jedno losowanie, wynosi:

60-3= 57

Lecz zauważ, jeszcze, że po każdym losowaniu jest o jeden los mniej dlatego, by obliczyć wszystkie możliwości musimy skorzystać z drugiego wzoru:

I teraz możemy dać odpowiedź:
Odp.: Jest 1596 wszystkich możliwości wylosowania 2 losów

Zad. 4
3 dziewczyny i 5 chłopców siedzi sobie na pniu starego dębu (oczywiście zwalonego przez piorun). Zakładając, że chłopcy i dziewczyny nie mogą się przeplatać (czyli nie mogą się mieszać), oblicz ile jest możliwości ich usadzenia?

Rozwiązanie:
Tutaj musimy rozpatrzeć wiele przypadków:
Po pierwsze, usadzając dziewczyny, za każdym razem mamy o jeden mniej wybór dlatego wszystkie możliwości usadzeniu dziewczynek to: 3!
Po drugie u chłopców, będzie tak samo jak u dziewczyn (czyli jak usadzimy jednego, to jeden wybór mniej, więc wszystkich możliwości usadzenia chłopców jest: 5!
Po trzecie ze względu na to, że możemy usadzić dziewczyny po prawej lub po lewej oraz na odwrót: to wynik mnożymy razy 2

Więc teraz wszystko obliczamy:
(ze względu, na to, że, gdy dziewczyny siedzą jakoś to chłopcy mogą usiąść w wiele innych sposobów oraz patrz punkt trzeci)

Możemy dać takie rozwiązanie (ze względu na to, że wyjdzie nam duża liczba), lecz ja się pofatyguję i obliczę te silnie (!) oraz pomnożę wynik tych silni razy dwa:

I tak oto rozwiązaliśmy to zadanie

Na zakończenie wspomnę jeszcze o kliku ważnych rzeczach związanych z kombinatorką:
-Ze względu na budowę/rodzaj zbioru wyróżniamy:
’kombinatorkę z powtórzeniami- występuje, gdy dowolny multizbiór, który jest zbudowany z elementów pewnego zbioru skończonego
’kombinatorkę bez powtórzeń- jest to po prostu dowolny podzbiór we zbiorze skończonym
-Kombinatorka to również dział w matematyce, do którego zaliczamy:
’permutacje
’wariacje
’wariacje z powtórzeniami
’wspomniane kombinatorki z powtórzeniami i bez powtorzeń

Koniec