Kryterium cauchy’ego

Szereg liczbowy
Kryterium Cauchy’ego
Przykłady zastosowania Kryterium Cauchy’ego

Szeregiem liczbowym nazywamy sumą nieskończonego ciągu liczbowego którą oznaczamy:
czyli:

Kryterium Cauchy’go pozwala na stwierdzenie kiedy szereg liczbowy jest szeregiem zbieżnym lub rozbieżnym. Istnieją jednak przypadki szeregów liczbowych w których kryterium nie rozstrzyga.

Kryterium Couchy’ego:

Jeśli granica jest mniejsza od liczby to szereg jest szeregiem zbieżnym.
Jeśli granica jest większa od liczby to szereg jest szeregiem zbieżnym.
Uwaga:
Jeśli granica jest równa to kryterium nie rozstrzyga o tym czy szereg jest szeregiem zbieżnym czy rozbieżnym.

Przykład 1: Wykorzystując kryterium Couchy’ego pokażemy że szereg postaci: jest szeregiem rozbieżnym.

Widzimy, że szereg postaci jest szeregiem rozbieżnym

Przykład 2: Dla podanych przykładów szeregu , kryterium Couch’ego nie rozstrzyga o tym czy dane szeregi są szeregiem zbieżnymi czy rozbieżnymi.

Dla szeregu

Dla szeregu

Przykład 3: Wykorzystując kryterium Couchy’ego pokażemy że szereg postaci: jest szeregiem zbieżnym.