Opracowanie:
Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze

Zweryfikowane

Kryterium porównawcze to jest kryterium zbieżności szeregów liczbowych, czyli konstrukcji umożliwiającej wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników, o wyrazach nieujemnych. Oznacza to, że ten szereg liczbowy o wyrazach nieujemnych majoryzowany przez zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny. Dzięki zasadzie kontrapozycji twierdzenie te znaczy to samo, co fakt, że szereg o wyrazach nieujemnych majoryzujący rozbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest rozbieżny.

Kiedy $sum _{{n=1}}^{infty }a_{n}$ (szereg pierwszy) oraz $sum _{{n=1}}^{infty }b_{n}$ (szereg drugi) są szeregami o wyrazach nieujemnych i założy się, że istnieje , które dla wszystkich zachodzi nierówność , to:
1 . jeśli szereg drugi jest zbieżny, to szereg pierwszy też jest zbieżny;
2 . jeśli szereg pierwszy jest rozbieżny, to szereg drugi też jest rozbieżny.

Granica ciągu sum częściowych, czyli po prostu sumy szeregu o wyrazach nieujemnych zawsze – jest nieujemną liczbą rzeczywistą albo wynosi Dowodzi to, że powyższe dwa stwierdzenia są zgodne według zasady kontrapozycji. Oznacza to, że nie trzeba przeprowadzać dwóch dowodów, wystarczy tylko przeprowadzić pierwsze stwierdzenie.
Jeśli założy się, że szereg drugi jest zbieżny i jest skończoną sumą szeregu drugiego, a istnieje takie , dla którego wszystkie zachodzi nierówność , można założyć, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych , bo skończenie dużo wyrazów szeregu liczbowego nie wnika na jego zbieżność. W takiej sytuacji każda liczba naturalna spełnia też nierówność: ${displaystyle 0leqslant sum _{n=1}^{k}a_{j}leqslant sum _{n=1}^{k}b_{j}leqslant B.}$ Znaczy to, że ciąg ${displaystyle S_{k}=sum _{n=1}^{k}a_{n}}$ jest ograniczony przez szereg drugi. Ze względu na to, że ten ciąg jest też niemalejący, to: ${displaystyle S_{k+1}-S_{k}=sum _{n=1}^{k+1}a_{n}-sum _{n=1}^{k}a_{n}=a_{k+1}geqslant 0,}$ czyli dla wszystkich zachodzi ${displaystyle S_{k+1}geqslant S_{k}.}$
Ponieważ wszystkie ograniczone i niemalejące ciągi liczb rzeczywistych są zbieżne, to szereg pierwszy jest zbieżny, bo zbieżny jest jego ciąg sum częściowych.

Kryterium d’Alemberta jest jednym z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich. Dany jest szereg liczbowy ${displaystyle sum _{k=1}^{infty }a_{k}}$ o wyrazach dodatnich i ${displaystyle D_{n}={frac {a_{n+1}}{a_{n}}}qquad (nin mathbb {N} ).}$ Jeśli dal wystarczająco dużych i pewnego spełniona jest nierówność ${displaystyle D_{n}leqslant r,}$ to szereg pierwszy jest zbieżny. Natomiast kiedy dla wystarczająco dużych spełniona jest nierówność ${displaystyle D_{n} data-lazy-src=$ 1,}” style=” „> to szereg pierwszy jest rozbieżny.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela

Opracowanie: Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze

Opracowanie:
Kryterium porównawcze