Kwadrat różnicy

Kwadrat różnicy to jeden ze wzorów skróconego mnożenia o wzorze:

Wyprowadzenie wzoru:
Rozwijamy wyrażenie po lewej stronie:

Wymnażamy wyrażenia w nawiasach:

Po uporządkowaniu wyrazów podobnych

A więc .

Kwadrat różnicy możemy stosować w obie strony, zarówno do rozwijania wyrażeń postaci , jak i do zwijania wyrażeń postaci . Jest to bardzo przydatne w różnego rodzaju zadaniach i dowodach, które wymagają przekształceń wyrażeń algebraicznych. Warto zauważyć, że z powodu podnoszenia do kwadratu kolejność wyrazów w nawiasie nie ma znaczenia i możemy zamieniać je miejscami:


Przykłady zastosowań:

Uprość wyrażenie .
Dwukrotnie stosujemy kwadrat różnicy:


Wykaż, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych x i y prawdziwe jest wyrażenie .
Założenia:
Teza:
Dowód:
Po przekształceniu wyrażenia po lewej stronie zauważamy, że możemy zwinąć je kwadratem różnicy:


Dowolne wyrażenie podniesione do kwadratu jest nieujemne, zatem dana nierówność zawsze jest prawdziwa c.n.d.

Często popełniane błędy:
Często intuicyjnie zdarza się pominąć wyraz i zwyczajnie podnieść wyrazy w nawiasie do kwadratu, jednakże jest to błędem: nie równa się .
Jeśli w nawiasie przy niewiadomej stoi liczba np. należy pamiętać, żeby podczas potęgowania podnieść do kwadratu zarówno liczbę jak i niewiadomą: , a nie .