Kwantyfikator

Kwantyfikatory to zagadnienie pojawiające się w logice matematycznej.
Wyróżniamy dwa kwantyfikatory:
Kwantyfikator ogólny. Oznaczamy go symbolem ⋀ oraz ∀. Odczytujemy taki symbol za pomocą słów: dla każdego.
Kwantyfikator szczegółowy. Oznaczamy go symbolem ⋁ oraz ∃. Odczytujemy taki symbol za pomocą słowa: istnieje.

Te symbole mogą się niestety mylić. Przedstawię proste sposoby na zapamiętanie i rozróżnienie tych kwantyfikatorów. ⋀ oraz ⋁.
⋁ kojarzę sobie z tym, że na dole wskazuje na 1 element. Pod kwantyfikatorem ⋀ zmieści się więcej elementów. Przedstawię to na poniższym rysunku:

Dlatego ⋀ oznacza więc „dla każdego”, a ⋁ „istnieje taki”.
∀ oraz ∃ to symbole, które również często spotykamy. Zapis ∃ jest związany z angielskim słowem exist i dokładnie z tym można kojarzyć ten symbol. Exist oznacza istnieć. ∃ oznacza więc „istnieje taki”.

∀ to jakby odwrócone A. Zapis ∀ jest związany z angielskim słowem all i oznacza każdy. ∀ oznacza więc „dla każdego”

Dzięki powyższym skojarzeniom zawsze pamiętam te dwa kwantyfikatory.

Najpierw opiszę charakterystykę kwantyfikatorów ogólnych. Jako przykład weźmiemy następujący zapis:
x2 0
Pod kwantyfikatorem zapisane jest, że x ∈ R, czyli zmienna, która brana jest pod uwagę w tym kwantyfikatorze.
Po kwantyfikatorze zapisany jest warunek. Oczywiście takie zdanie z kwantyfikatorem może być prawdziwe albo fałszywe.
Czytamy następujący zapis: dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych spełnione jest wyrażenie x2 0.

Kwantyfikatory szczegółowe. Jako przykład weźmy następujący zapis:
x2 = 4

Zapis pod kwantyfikatorem oraz obok jest identyczny jak w przypadku kwantyfikatorów ogólnych.
Różnicą jest jednak odczytywanie: Istnieje taki x, który należy do zbioru liczb rzeczywistych, który spełnia wyrażenie x2 = 4.

Przykłady:
Odczytajmy poniższe wyrażenia oraz oceńmy wartość logiczną zdań.
x + 5 > 4
Istnieje taki x należący do zbioru liczb naturalnych, dla którego spełnione jest wyrażenie x + 5 > 4
W takim przypadku oczywiście musimy pomyśleć, czy istnieje taki x, który spełni nam wyrażenie. Przykładowe wartości x, które spełniają tą nierówność: x = 1, x = 2, x = 3. Zdanie jest prawdziwe, ponieważ istnieje minimum jeden taki x.

x – 2x < 0
Dla każdego x większego od 0 wyrażenie x – 2x jest mniejsze niż 0.
Wartość logiczna zdania to prawda, ponieważ zawsze będzie spełniony ten warunek.

x – y = 0
Jeśli mamy dwa kwantyfikatory obok siebie, to czytamy je w następujący sposób:
Dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje y należący do zbioru liczb rzeczywistych taki, że wyrażenie x – y jest równe 0.
Wartość logiczna zdania to prawda.
Sprawdzimy to na poniższych wartościach
x = 10 y = 10
x = – 10 y = -10
x = 0 y = 0

yx+1 > 0
Istnieje taki x należący do zbioru liczb naturalnych, że dla każdego y należącego do zbioru liczb rzeczywistych wyrażenie yx+1 jest większe niż 0.
Wartość logiczna zdania to prawda.

Po tych dwóch ostatnich przykładach widać, że kolejność kwantyfikatorów ma znaczenie, nie można zapisywać ich w kolejności losowej, ponieważ zmienią one sens zdania logicznego.