Opracowanie:
Laplasjan

Laplasjan

Zweryfikowane

Laplasjan ma inną nazwę, która brzmi operator Laplace’a. Jest to operator różniczkowy drugiego rzędu. Został wymyślony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. Natomiast w trzywymiarowym układzie kartezjańskim wygląda tak:
{displaystyle triangle equiv nabla ^{2}={frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}.}
W wymiarowym układzie kartezjańskim wygląda bardzo podobnie:
{displaystyle triangle equiv nabla ^{2}={frac {partial ^{2}}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial x_{2}^{2}}}+dots +{frac {partial ^{2}}{partial x_{n}^{2}}}.}

Ten operator jest uogólnieniem wymiarowej przestrzeni euklidesowej z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz uogólnieniem dowolnych przestrzeni riemannowskich i pseudoriemannowskich.

Laplasjan znalazł szerokie zastosowanie w fizyce (między innymi w równaniach falowych i przewodnictwa cieplnego, w części hamiltonianu czy w przestrzeni składowej operatora d’Alemberta) oraz w teorii prawdopodobieństwa – jest generatorem procesu Wienera.

Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim wyglądając tak:
{displaystyle {vec {F}}=[F_{1},dots ,F_{n}]equiv sum _{k=1}^{n}F_{k},{hat {e}}_{k}} ,
tworzy wektor, gdzie współrzędne są wielkościami {displaystyle triangle F_{k}} , które są obliczone z funkcji współrzędnych {displaystyle F_{k}} tej funkcji wektorowej, czyli:
{displaystyle triangle {vec {F}}=[Delta F_{1},dots ,Delta F_{n}]}
lub w innej postaci:
{displaystyle triangle {vec {F}}=sum _{k=1}^{n}(triangle F_{k}){hat {e}}_{k}.}
Jednak w innych układach współrzędnych działanie laplasjanu zapisuje się w postaci bardziej złożonych wzorów.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top