Lemat

Lemat jest rzadko używanym pojęciem matematycznym, jednak na studiach możemy spotkać się z pojęciem lematu oraz pewnymi przykładami. Najprościej mówiąc, lematem nazywamy twierdzenie, które nie jest wystarczająco ważne, aby zostać uznane za pełnoprawne twierdzenie – lub jest założeniem, które jest elementem dowodu większego twierdzenia.
Przykładem lematu jest Lemat Euklidesa. Lemat ten brzmi następująco:
Weźmy liczbę pierwszą p, oraz dowolne liczby a i b. Jeśli p dzieli iloczyn a b, to p musi dzielić liczbę a lub dzielić liczbę b.

Przykładowo:
p = 7 – jest to liczba pierwsza
a b = 231 – losowa liczba naturalna
Sprawdźmy, czy 7 dzieli 231.
231/7 = 33, czyli 7 dzieli 231.
Jeśli Lemat Euklidesa jest prawdziwy, oznacza to, że niezależnie od rozbicia 231 na iloczyn a*b, liczba p będzie dzieliła a lub b. Sprawdźmy.
Liczbę 231 można przedstawić jako następujące iloczyny liczb naturalnych:
231 = 3 77 –> 7 dzieli 77, więc jest to prawda.
231 = 7 33 –> 7 dzieli 7, więc jest to prawda.
231 = 11 21 –> 7 dzieli 21, więc jest to prawda.

Oczywiście, nie popełnijmy błędu – jeden przykład nie sprawia, że twierdzenie jest prawdziwe. Jednak w przypadku lematu, tak jak w przypadku twierdzenia – nie musimy go udowadniać, aby użyć w zadaniu. Tak samo jak nie udowadniamy Twierdzenia Pitagorasa, za każdym razem gdy go używamy.