Liczba doskonała

Liczba doskonała to liczba naturalna, której suma dzielników od niej mniejszych jest równa tej liczbie.

Dla przykładu przeanalizujmy liczbę 6.
Zbiór dzielników liczby 6 przedstawia się następująco: . Sumujemy jego elementy z wyłączeniem 6 i otrzymujemy , zatem 6 jest liczbą doskonałą.

Liczb doskonałych możemy szukać dalej, spróbujemy teraz z liczbą 12.
Wypisujemy dzielniki liczby 12: i przeprowadzamy analogiczne obliczenia jak wyżej , zatem 12 nie jest liczbą doskonałą.

Sprawdzając kilka kolejnych liczb można dojść do wniosku, że poszukiwanie liczb doskonałych nie jest prostym zajęciem. Ręczny rozkład większych liczb zaczyna stanowić wyzwanie zajmujące dużo czasu, a same liczby doskonałe nie występują często. Do tej pory odkryto 51 liczb doskonałych, a oto kilka początkowych z nich:
6, 28, 496, 8128, 33550336.

Kilka faktów o liczbach doskonałych:
Wszystkie odkryte liczby doskonałe są parzyste, jednak nie udowodniono istnienia lub nieistnienia nieparzystych liczb doskonałych.
Wszystkie odkryte liczby doskonałe zakończone są na 6 lub 28 (ciekawa zależność zważając, że 6 i 28 też są liczbami doskonałymi) lecz nie ma dowodów, iż ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich liczb doskonałych.
Brakuje również dowodu na istnienie nieskończonej ilości liczb doskonałych.

Liczby doskonałe są związane z liczbami pierwszymi Mersenne’a.

Liczbą pierwszą Mersenne’a nazwiemy taką liczbę pierwszą, którą można przedstawić w postaci , gdzie jest liczbą pierwszą,

na przykład:
, gdzie
, gdzie
, gdzie

natomiast:
, gdzie nie jest liczbą pierwszą Mersenne’a .

Zależność pomiędzy liczbami pierwszymi Mersenne’a i liczbami doskonałymi wyraża twierdzenie Euclida-Eulera, które brzmi:

Liczba parzysta jest liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy można przedstawić ją w postaci , gdzie jest liczbą pierwszą i jest liczbą pierwszą.

Można zauważyć, że wyrażenie to właśnie liczba pierwsza Mersenne’a. Płynie z tego wniosek, że każdej liczbie pierwszej Mersenne’a odpowiada liczba doskonała. Jak można się domyślić, liczb Mersenne’a znamy tyle samo ile liczb doskonałych. Należy jednak zdać sobie sprawę, że nie wszystkie liczby doskonałe mogą mieć powiązanie z liczbami pierwszymi Mersenne’a, na przykład teoretyczna nieparzysta liczba doskonała. Zależność pomiędzy liczbami pierwszymi Mersenne’a a liczbami doskonałymi pozwala znajdować liczby doskonałe, poprzez znajdowanie liczb pierwszych Mersenne’a. jednak jest to zadanie czasochłonne i przeznaczone dla komputerów, ze względu na to jak niewyobrażalnie wielkie to są liczby. Największą liczbę doskonałą można przedstawić w postaci . Dla porównania, szacowana liczba atomów w obserwowalnym wszechświecie wynosi około .

Przy okazji liczb doskonałych można wspomnieć jeszcze o liczbach wielokrotnie doskonałych.

Liczba wielokrotnie doskonała to liczba naturalna, której suma wszystkich dzielników naturalnych jest równa wielokrotności tej liczby.

Dla przykładu liczba trzykrotnie doskonała to będzie liczba, której suma wszystkich dzielników naturalnych będzie trzykrotnością tej liczby,

np. liczba 120. Dzielniki liczby 120: . Obliczamy .

Uwaga.

Można zauważyć, że liczby dwukrotnie doskonałe i liczby doskonałe opisują te same liczby, jednak zgodnie z podanymi definicjami w inny sposób sprawdza się czy dana liczba należy do danego typu liczb. W nomenklaturze natomiast stosuje się wyłącznie nazwę liczby doskonałe.