Liczba e

Liczba 'e’ może nam się kojarzyć teraz z jakimś oznaczeniem, skrótem jakiejś wartości, wartością wyliczaną z wzoru. W tym opracowaniu przybliżę wam czym jest liczba 'e’ oraz kim byli jego twórcy (oczywiście w skrócie bo piszę o liczbie 'e’, a nie o jej twórcach).

Czym jest liczba 'e’ ?
Liczba 'e’ jest inaczej zwaną liczbą Eulera (lub liczbą Nepara), który był jej twórcą. Liczba 'e’ jest granicą pewnego ciągu liczbowego, ale jakiego? Ta granica ciągu liczbowego, która jest przedstawiana jako:

gdzie:
n- dowolna liczba/równanie

A teraz pytanie do was: Jak myślicie- ile wynosi liczba Eulera?
Niestety zapewne napisaliście to źle (no chyba, że dowiedzieliście się jaką ma wartość), gdyż liczba 'e’ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, co przedstawia poniższa wartość tej liczby:

Co prawda wartość liczby 'e’ ciągnie się w nieskończoność to i tak nie musisz zapamiętywać tego całego ciągu liczb, gdyż, podobnie jak w przypadku liczby π, wykorzystujemy jej przybliżenie:

(wiesz jak zaokrąglać liczby)

Wcześniej wspominałem, że twórcą liczby 'e’ jest niejaki Euler, ale kim on był?
Leonhard Euler (15 kwietnia 1707 – 18 września 1783) był szwajcarskim matematykiem, fizykiem, astronomem, geografem, logikiem oraz inżynierem.

Ale prawdziwym twórcą liczby 'e’ nie był Euler, gdyż był on twórcą jedynie oznaczenia tej liczby, prawdziwym twórcą jest John Napier, który obliczył wartość liczby 'e’

Teraz, gdy wiecie czym jest liczba 'e’, możemy przystąpić do rozwiązywania zadań z liczbą 'e’, ale na czym polegają są te zadania? Polegają one jedynie na określeniu granicy ciągu (przedstawionej wyżej) wraz z innymi zmiennymi w tym ciągu.

Zad. 1
oblicz granicę ciągu dla:
a)

b)

c)

d)

Rozwiązania:
a) wyrażenie jest to bardzo podobne do naszego ciągu, lecz zamiast dodawania występuje tam minus, dlatego musimy przekształcić to wyrażenie do postaci, która zawiera w sobie nasz ciąg liczb:

(gdyż jest to ważny krok w drodze do zamiany minusa na plusa)

(dajemy odejmowanie pod jeden mianownik)

(obróciliśmy ten ułamek, gdyż w takiej formie, będzie nam potrzebny później, o czym się za chwilę przekonasz, a ’-1′ jest po͏                                  to by równość była prawdziwa)
(rozszerzamy licznik, aby wrócić do postaci podobnej do poprzedniej, a ’’ bo jedynki się skracają)

[ wyrażenie możemy traktować jako osobne, gdyż oraz teraz możemy możemy zapisać to z pomocą strzałki z dążenia 'n’ do nieskończoności, gdyż wyrażenie w nawiasie kwadratowym możemy potraktować jako liczbę 'e’]

—–>

Wyznaczyliśmy właśnie pierwszą granicę ciągu

b) Tutaj postępujemy podobnie, tylko, że to jest łatwiejsze do rozwiązania, o czym się za chwilę przekonacie:

(gdyż potrzebuje doprowadzić te równanie do powszechnej postaci liczby 'e’, a później robimy to co poprzednio)

—->
 

c) tutaj postępujemy podobnie, lecz z pewnymi zmianami:

(musimy się pozbyć pięćdziesiątki z mianownika, jednocześnie zachowując prawdziwość równania, czyli musimy przepisać liczbę wchodzącą w 'równanie’ z 'n’ do 'n’ w potędze, zamieniając jego znak na przeciwny)

(rozbijamy poprzednią potęgę na dwie różne oraz w przypadku, gdy w ciągu wystąpi dan potęga, ale niewiadoma 'n’ w mianowniku nie jest dana, to wtedy takie równanie jest równe 1)

—->

d) Tutaj łączymy obliczenia granicy ciągu w podpunktach b) oraz c) (dlatego nie będę ich opisywał, gdyż będzie wiadome o co chodzi), pamiętając o znakach:

—->

Teraz wiecie czym jest liczba 'e’, znacie jej twórców, oraz umiecie obliczać granicę ciągów liczbowych, więc mogę zapisać tylko:

Koniec