Liczba eulera

Liczba Eulera jest jedną z najważniejszych liczb w matematyce. Większość z nas prawdopodobnie słyszała o Liczbie Eulera i jest w stanie podać przybliżoną jej wartość. W niniejszym wypracowaniu przedstawię jednak szczegółową analizę tej liczby, od jej historii poprzez zastosowania.
Leonhard Euler był szwajcarskim matematykiem żyjącym w XVIII wieku. Był on jednym z pionierów współczesnej matematyki, podczas swojego długiego życia zajmował się wieloma dziedzinami królowej nauk – między innymi rachunkiem różniczkowym, algebrą czy analizą matematyczną.
Mało znaną ciekawostką jest fakt, że to nie Leonhard Euler odkrył liczbę, która przeszła do podręczników jako Liczba Eulera. Wzór i przybliżoną wartość liczby Eulera opisał już w 1683 szwajcarski matematyk Jacob Bernoulli. Zasługą Eulera jest jednak zrozumienie szerokiego znaczenia tej liczby, a także użycie po raz pierwszy w 1731 roku oznaczenia „e”. W 1748 roku Leonhard Euler opublikował po łacinie dzieło „Introductio in analysin infinitorum”, w którym opisał wiele podstawowych pojęć analizy matematycznej, w tym liczbę e i jej znaczenie.
Przejdźmy teraz to wartości liczby Eulera. Jest to liczba niewymierna, co oznacza, że nie można jej zapisać w postaci ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone. Jej wartość wynosi: 2,7182818284590452353602874713527…, natomiast dla codziennego użytku i naszej wiedzy warto zapamiętać, że e 2,718.
Odkryjmy teraz, skąd pochodzi dokładnie taka wartość. Liczbą Eulera określamy granicę ciągu (1 + )n dążącą do nieskończoności. Innymi słowy, wraz ze wzrastającą wartością n, wynik działania (1 + )n będzie zbliżał się do wartości Liczby Eulera, ale nigdy go nie osiągnie. Idealnie przedstawi to wykres funkcji:

Aby sprawdzić poprawność wykresu, możemy podstawić przykładowe liczby do wzoru:
Gdy n=1, (1 + )n = (1 + )1 = 2
Gdy n=2, (1 + )n = (1 + )2 = (1.5)2 = 2.25
Gdy n=5, (1 + )n = (1 + )5 = (1.2)5 2.488
Wraz ze wzrostem n, wartość wyrażenia wzrośnie do wartości Liczby Eulera czyli 2,718…, lecz nigdy nie przekroczy tej granicy.

Innym, równie znanym sposobem na oszacowanie wartości Liczby Eulera jest obliczenie sumy szeregu !, gdzie n to kolejne liczby całkowite, zaczynając od 0 i dążąc do nieskończoności. Matematyczny zapis tego równania to:

! = ! + ! + ! + ! +…. = 1 + 1+ + +….

Jeśli dodamy do siebie te wyniki, otrzymamy szybko bardzo dobre przybliżenie e 2,718.

Przejdźmy teraz do zastosowań Liczby Eulera. Najbardziej znanym zastosowaniem jest logarytm naturalny. Logarytmem naturalnym jest logarytm, którego podstawą jest e. Oznaczamy go loge, lub ln.
Przypomnijmy sobie, czym jest logarytm. Jest to liczba w postaci loga b = c, gdzie ac = b. W przypadku logarytmu naturalnego, mamy loge b = c, czyli b = ec.

Przykład:
a) Oblicz logarytm naturalny z 1.
b) Oblicz logarytm naturalny z 2.

Rozwiązanie:
a) loge 1 = c
1 = ec
Zastanówmy się, do jakiej liczby należy podnieść e, aby otrzymać 1.
Wykorzystujemy naszą wiedzę matematyczną, że dla dowolnej liczby różnej od 0, a0 = 1. Tak więc możemy powiedzieć, ze 1 = e0, czyli loge1 = 0.
b) loge2 = c
2 = ec
Wiemy, że e to mniej więcej 2,718. Bez kalkulatora możemy jedynie określić, że należy podnieść e do potęgi trochę mniejszej niż 1, aby otrzymać wynik równy 2. Czyli możemy oszacować, że loge2 to liczba większa od 0, ale mniejsza od 1.
Dokładny wynik możemy w tym przypadku otrzymać wpisując w kalkulator „ln 2”. Rozwiązaniem jest ln 2 0.693.

Innym zastosowaniem Liczby Eulera jest na przykład obliczanie procentu składanego, co jest wykorzystywane w liczeniu rat czy oprocentowań. Jest ona używana również do matematycznego opisywania wzrostu populacji ludzi czy roślinności. Jednak jest to już temat na osobne wypracowanie.