LICZBA NATURALNA Liczba naturalna opisuje ilość rzeczy, które możemy spotkać w naturze, np.: ile masz zdjęć w domu? Ile jest ławek w parku? Czy ile jest krzeseł przy stole? Liczby naturalne to np.: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 27, …, 34, …, 78, 257, …, 464, …, 861, …, 1 483, …, 4 567, …, 8 554, …, 9 756, …, 14 828, …, 73 388, …, 289 484, …, 857 675, itd. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0, a największej nikt nie potrafi ustalić, ponieważ liczb jest nieskończenie wiele.
W zbiorze liczb naturalnych wyróżnia sięliczbyparzyste, jak iliczbynieparzyste. Liczby parzyste dzielą się przez2, natomiast liczby nieparzyste to te, którenie dzieląsięprzez 2np.:3 jest liczbą nieparzystą,ponieważ nie dzieli sięprzez 2, a 8 jest liczbą parzystą, bo jest podzielna przez 2. Przykłady liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, itd. Przykłady liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, itd.
Liczby naturalne dzielą się także na liczby pierwsze iliczby złożone. Liczby pierwsze mają tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczba 2 to najmniejsza liczba pierwsza, a kolejne to: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 … Liczba złożona posiadawięcej niż dwa dzielniki i jest ich określona ilość. To przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 …
Dziesiątkowy układ pozycyjny zapisywania liczb Liczby zapisuje się za pomocą dziesięciu cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) w systemie pozycyjnym, co oznacza, że każda cyfra ma swoją „pozycję”, im bliżej lewej strony cyfra leży, do tym wyższego rzędu należy.
10 jedności to 1 dziesiątka 10 dziesiątek to 1 setka 10 setek to 1 tysiąc 10 tysięcy to 1 dziesiątka tysięcy 10 dziesiątek tysięcy to 1 setka tysięcy 10 setek tysięcy to 1 milion
Dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę rzędu wyższego. Taki system nazywamy systemem dziesiątkowym. Np.: 3 [ jednostki ] + 4 [ jednostki ] = 7 [ jednostek ] 1 [ jednostka ] + 1 [ jednostka ] = 2 [ jednostki ] 2 [ jednostki ] + 1 [ jednostka ]= 3 [ jednostki ] 7 [ jednostek ] + 3 [ jednostki ] = 10 [ dziesięć jednostek, czyli jedna dziesiątka ( jednostka wyższego rzędu )] 6 [ jednostek ] + 5 [ jednostek ] =11 [ jedenaście, czyli jedna dziesiątka (jednostka wyższego rzędu) + jedna jednostka ( niższego rzędu )]
Jak zapisujemy liczby?
47 7 53 4 cyfra setekcyfra dziesiątekcyfracyfra cyfracyfra tysięcytysięcytysięcysetekdziesiątekjedności Aby dobrze odczytać wielką liczbę, należy: podzielić na grupy po trzy cyfry, określić nazwę najwyższej grupy, ustalić czy w tej grupie jest cyfra, np.: tysięcy, setek, dziesiątek czy może jedności, czytać od lewej strony, po każdej grupie dodając jej nazwę.
120
456
865 sto dwadzieścia milionów czterysta pięćdziesiąt sześć tysięcy osiemsetsześćdziesiąt pięć
13
000
648 trzynaście milionówsześćset czterdzieści osiem
522
425
971 pięćset dwadzieścia dwa miliony czterysta dwadzieścia pięć tysięcy dziewięćset siedemdziesiąt jeden
Porównywanie liczb naturalnych Porównanie to sprawdzenie czy liczby są równe, czy może jedna z nich jest mniejsza lub większa. Do tego służą takie symbole: = to znak równości, któryznaczy, że liczby są sobie równe, > to znak większości, który oznacza, że liczba z lewej strony jest większa od liczby z prawej strony, < to znak mniejszości, który informuje, że liczba z lewej strony jest mniejsza od liczby ze strony prawej.
876 = 876
czytamy:
liczba 876 jest równa liczbie 876.
39 > 37
czytamy:
liczba 39 jest większaod liczby 37.
24 < 97
czytamy:
liczba 24 jest mniejsza od liczby 97.
Porównywać możemy nie tylko liczby, ale i pieniądze, produkty, zabawki, długopisy, kredki, książki i wiele, wiele innych rzeczy.
> = Szacowanie liczb naturalnych Szacowanie (tzw. zaokrąglanie) jest w życiu bardzo potrzebne, aby np.: obliczyć ceny, szybko stwierdzić, która jest godzina albo ile mamy ołówków w domu lub pieniędzy w portfelu. Np.: chcę kupić 4 chlebki po 2 zł 90 gr, to prawie 3 zł, więc to będzie ok. 12 zł. Liczby zaokrąglamy „w górę” lub „w dół”. Jeżeli to jedna z cyfr : 0, 1, 2, 3, 4 to szacujemy „w dół”. Jeżeli to cyfra : 5, 6, 7, 8, 9 to szacujemy ” w górę”. Szacowanie oznaczamy symbolem: „„. Możemy zaokrąglać np.: do dziesiątek: , setek: , tysięcy: oraz do wielu większych liczb. Rzymski system zapisywania liczb naturalnych Liczby naturalne możemy zapisać w inny sposób niż cyframi. Służy do tego siedem wielkich „liter” (znaków) i jest to tzw. system rzymski. Te znaki to:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Aby liczbę naturalną zapisać za pomocą systemu rzymskiego, musimy się trzymać takich zasad: Znaki piszemy od największego do najmniejszego, by odczytać liczbę, dodajemy wartości znaków.
Jeśli znak o mniejszej wartości znajduje się przed większym, to należy odjąć jego wartość. Obok siebie nie mogą stać znaki V, L, D w tej kolejności, mogą jednak występować w innym położeniu, np.: DLV = 555, LV = 55. Odejmować można tylko trzy cyfry: I, X i C. Cyfrę I tylko od cyfr V i X i nie można jej odejmować od innych cyfr. W systemie rzymskim nie można zapisać liczby arabskiej 49 poprzez odjęcie cyfry I od cyfry L. Trzeba tu dodać do liczby 40 (XL) liczbę 9 (IX). Czyli: 49 =XLIX. Przykłady: VII + II = IX XX + V = XXV D + C + X = DCX M + D + C + L = MDCL 7 + 2 = 9 20 + 5 = 25 X + V = XV L + X = LX M + D + C = MDC D + C + L + X + V + II= DCLXVII 10 + 5 = 15 50 + 10 = 60 1000 + 500 + 100= 1600 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 2 = 667Działania na liczbach naturalnych Na liczbach naturalnych można wykonywać wiele różnych działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Są one bardzo potrzebne w życiu np.: aby obliczyć ile mamy zapłacić za zakupy, ile jest zabawek na półce czy książek w szafce. Dodawanie
Liczby, które dodajemy nazywają się
składnikami, a wynik tego dodawania to suma.
składnik 5 + 86 = 91 składniksuma Przy dodawaniu możemy dodawać dowolne liczby, ale gdy jedną liczbą jest zero wynik się nie zmieni. Np.: 0 + 7 = 7, 0 + 1 = 1 4 + 0 = 4, 2 + 0 = 2 0 + 5 = 5,0 + 3= 3 8 + 0 = 8,6 + 0 = 6 Kolejność dodawania nie ma znaczenia, bo nie zmienia wyniku. Nazywamy to przemiennością. Np.: 84 + 76 = 1608 + 3 + 4 = 15 76 + 84 = 1608 + 4 + 3 = 15 3 + 8 + 4 = 15 4 + 8 + 3 = 15 3 + 4 + 8 = 15 4 + 3 + 8 = 15 Odejmowanie W odejmowaniu liczba, od której odejmujemy nazywa się odjemną, a liczba, którą odejmujemy od odjemnej to odjemnik. Wynik odejmowania to różnica.
odjemnik 83 – 54 = 29 odjemnaróżnica Żeby różnica była liczbą naturalną, odjemnik musi być równy lub mniejszy odjemnej. Jeżeli odjemnik jest równy odjemnej otrzymasz różnicę zero. Np.: 6 – 6 = 046 565 – 46 565 = 0 1 – 1 = 03 792 – 3 792 = 0 99– 99 = 03 734 577 – 3 734 577 = 0
Odejmowanie
nie jest przemienne, nie można zamieniać kolejności liczb!
Dodawanie i odejmowanie to
działania odwrotne, dlatego wynik odejmowania można sprawdzić dodawaniem. Np.: 6–4=2 spr.: 2+4=6 9–3=6 6+3=9 8–4=4 4+4=8 Mnożenie Liczby, które mnożymy nazywają się czynnikami, a wynik mnożenia to iloczyn.
czynnik 7 x 9 = 63 czynnikiloczyn W tabliczce mnożenia możesz mnożyć dowolne liczby, a 7 x 9 to tyle samo, co 9 x 7. Mnożenie jest przemienne. Np.: 5x 6 = 30, 6 x 5 = 30 2 x 9 = 18, 9 x 2= 18 8x 8 = 64, 8 x 8 = 64 4 x 5 = 20, 5 x 4 = 20 Jeśli jeden z czynników to zero, to wynik wynosi zero. Np.: 6x 0 = 01 x 0 = 0 5 x 0 = 02 x 0 = 0 3x 0 = 04 x 0 = 0 Jeśli pomnożymy dowolny czynnik przez jeden to otrzymamy tę samą liczbę. Np.: 53x 1 = 536 523 x 1 = 6 523 56x 1 = 56676 543 x 1 = 676 543 487x 1 = 48756 096 365 x 1 = 56 096 365Dzielenie
W dzieleniu liczba, którą dzielimy przez drugą liczbę to
dzielna, natomiast liczbę, przez którą dzielimy pierwszą liczbę nazywamy dzielnikiem. Wynikiem dzielenia jest iloraz.dzielnik 90 : 10 = 9 dzielnailoraz Żeby dzielenie było poprawne, dzielnik nie może wynosić zero! 6 : 0 takie dzielenie nie jest poprawne!!! Natomiast liczba zero może być dzielną, wtedy wynik wynosi zero. Np.: 0 : 5 = 00 : 1 = 0 0 : 6 = 0 0 : 3 = 00 : 2 = 0 0 : 7 = 0 0 : 9 = 00 : 4 = 0 0 : 8 = 0
Aby iloraz był liczbą naturalną, dzielnik musi być mniejszy lub równy dzielnej i dzielić ją bez reszty. Dzielenie i mnożenie to działania
odwrotne, więc poprzez mnożenie można sprawdzić wynik dzielenia. Np.: 80 : 10 = 8 spr.: 8 x 10 = 80 30 : 3 = 10 10 x 3 = 3 40 : 4 = 1010 x 4 = 40
Jeśli dzielnik jest równy dzielnej, to wynik z dzielenia wynosi
