Liczba pierwsza

Liczba pierwsza

Różnica między liczbą pierwszą, a złożoną:

Zacznijmy od tego co to jest liczba złożona i liczba pierwsza.

Liczba złożona – to taka liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.

Przykłady liczb złożonych do 100 :

4 , 6 , 8 , 9 , 10 ,12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , 22, 24 , 25, 26, 27, 28 , 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38 , 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70 , 72 , 74, 75, 76, 77, 78, 80 , 81, 82, 84, 85, 86, 87 , 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100

Liczba pierwsza – to taka liczba, która dzieli się przez jeden i samą siebie, ma tylko dwa dzielniki. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele i są dodatnie, inaczej nieujemne.

Liczba jeden i zero nie są liczbami pierwszymi i liczbami złożonymi !!

Przykłady liczb pierwszych do 100 :

2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Liczba pierwsza od liczby złożonej różni się tym, że liczba złożona dzieli się przez więcej niż dwie liczby bez reszty, a liczba pierwsza tylko przez jeden i samą siebie.

Liczba dwa jest wyjątkowa, ponieważ jest to jedyna liczba pierwsza, która jest parzysta.

Przykład różnicy :

Liczba 11 jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez siebie i przez jeden ( 11 : 11 = 1 , 11 : 1 = 11 ), natomiast liczba 9 jest liczbą złożoną ( 9 : 1 = 9 , 9 : 3 = 3 , 9 : 9 =1 ) nie jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez: 1 , 3 i 9, a jak z powyższej definicji wynika LICZBĄ PIERWSZĄ są liczby, które dzielą się przez jeden i samą siebie.

Liczby pierwsze dzielimy na :

1.Liczby bliźniacze – są to takie liczby pierwsze, których różnica miedzy sobą wynosi dwa
Przykłady :

a) Liczby : 11 i 13 , bo 13 – 11 = 2

b) Liczby : 3 i 5 , bo 5 – 3 = 2

c) Liczby 41 i 43 , bo 43 – 41 = 2

2.Liczby pierwsze czworacze – są to dwie pary liczb bliźniaczych (czyli ich różnice wynoszą dwa ) oraz są ustawione kolejno .
Przykłady :

a) 5 , 7 , 11 , 13 ( tłumaczenie : 7 – 5 = 2 oraz 13 – 11 = 2 )

b) 11 , 13 , 17 , 19 ( tłumaczenie : 13 – 11 = 2 oraz 19 – 17 = 2 )

3.Liczby pierwsze lustrzane – są to liczby, które po odwróceniu jednej liczby mają ten sam wynik .
Przykłady :

a) 19 i 91 odwracam liczbę 91 i wychodzi nam liczby 19 i 19. Tak samo możemy zrobić z liczbą 19.

b) 13 i 31 odwracam liczbę 13 i wychodzi 31 i 31. Tak samo, można postąpić z liczbą 31.

c) 37 i 73 odwracam liczbę 73 i wychodzi 37 i 37. Tak samo, możemy postąpić z liczbą 37, czyli odwracam liczbę 37 i wychodzi 73 i 73.

4.Liczby pierwsze palindromiczne – to takie liczby pierwsze, które po odwróceniu będą tyle samo wynosić .
Przykłady :

a) 11 , odwracam i wychodzi 11

b) 131, odwracam i wychodzi 131

c) 151, odwracam i wychodzi 151

5.Liczby pierwsze izolowane – są to sąsiednie liczby pierwsze, których różnica wynosi co najmniej cztery.
Przykłady :

a) 47 i 53 ( sprawdzenie 53 -47 = 6 )

b) 61 i 67 ( sprawdzenie 67 – 61 = 6 )

c) 73 i 79 ( sprawdzenie 79 – 73 = 6 )

d) 83 i 89 ( sprawdzenie 89 – 83 = 6 )

6.Liczby Sophie Germain – jest to liczba pierwsza, którą trzeba pomnożyć przez dwa i dodać jeden. Wynik musi, być liczba pierwszą.
Przykłady:

a) Liczba 29
29 * 2 + 1 = 58 + 1 = 59

b) Liczba 41
41 * 2 + 1 = 82 + 1 = 83

c) Liczba 3
3 * 2 + 1 = 6 + 1 = 7

Czynniki pierwsze – jest to liczba złożona, która rozkłada się tylko na czynniki pierwsze. Pamiętaj, że zaczynamy rozkładać od najmniejszej liczby i stopniowo przechodzimy do większych. Jest to pokazane na przykładach poniżej.

Przykłady :

a) Liczba 15

15 = 3 * 5

b) Liczba 48

48 = 2*2*2*2*3

c) Liczba 36

36 = 2*2*3*3

Jak sprawdzić, czy liczba naturalna jest liczba pierwszą:

Na początek weźmy jakieś dwie różne liczby na przykład :

a) liczba 7

1.Na samym początku przeanalizujmy czy liczba siedem jest podzielna przez jeden i przez samą siebie .

7 : 1 = 7
7 : 7 = 1

2.Gdy już wiemy, że podana liczba dzieli się przez jeden i w tym przypadku przez siedem to patrzymy czy dzieli się przez liczby od 2-6 (nie sprawdzamy jedynki i siódemki, ponieważ mamy to sprawdzone w punkcie pierwszym). Pamiętamy, że wynik powinien wyjść bez reszty.

7 : 2 = 3,5
7 : 3 = 2,333…
7 : 4 = 1,75
7 : 5 = 1,4
7 : 6 = 1,1666…

3.Gdy już wiemy, że liczba siedem dzieli się tylko przez dwa dzielniki to możemy określić czy dana liczba jest liczbą pierwszą. W tym przypadku liczba siedem jest liczbą pierwszą.

b) liczba 12

1.Na samym początku przeanalizujmy czy liczba dwanaście jest podzielna przez jeden i przez samą siebie.

12 : 1 = 12
12 : 12 = 1

2.Gdy już wiemy, że podana liczba dzieli się przez jeden i w tym przypadku przez dwanaście to następnie patrzymy czy dzieli się przez liczby od 2-11 ( nie sprawdzamy jedynki i dwunastki, ponieważ mamy to sprawdzone w punkcie pierwszym). Pamiętamy, że wynik powinien wyjść bez reszty.

12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 5 = 2,4
12 : 6 = 2
12 : 7 = 1,71428571…
12 : 8 = 1,5
12 : 9 = 1,333…
12 : 10 = 1,2
12 : 11 = 1,0909…

Poniżej przedstawię zadania utrwalające poznaną wiedzę:

Zadanie 1

W poniższych podpunktach podane masz różne liczby. Określ, czy dana liczba jest liczbą złożoną czy pierwszą i podaj jej wszystkie dzielniki.

a) 12

Liczba dwanaście jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez więcej niż dwa dzielniki.

Dzielniki liczby dwanaście:

12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1

b) 24

Dwadzieścia cztery jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez więcej niż dwa dzielniki.

Dzielniki liczby dwadzieścia cztery:

24 ; 1 = 24
24 : 2 = 12
24 : 3 = 8
24 : 4 = 6
24 : 6 = 4
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 24 = 1

c) 77

Liczba siedemdziesiąt siedem jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez:

77 : 1 = 77
77 ; 7 = 11
77 : 11 = 7
77 : 77 = 1

d) 11

Liczba jedenaście jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez jeden i samą siebie w tym przypadku jedenaście.

11 : 1 = 11
11 : 11 = 1

Zadanie 2

Odpowiedź na poniższe pytania:

1) Ile jest liczb pierwszych ?
2) Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza?
3) Czy istnieje liczba pierwsza, która jest parzysta?
4) Czy liczba czterdzieści dwa jest liczbą pierwszą? Wyjaśnij.
5) Jak nazywamy liczby pierwsze, których różnica wynosi dwa?
6) Czy liczby zero i jeden są liczbami pierwszymi?

Odpowiedzi:

Ad.1
Odpowiedź: Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Ad.2
Odpowiedź: Najmniejszą liczbą pierwszą jest liczba dwa.

Ad.3
Odpowiedź brzmi: Tak.

Ad.4
Odpowiedź: Liczba czterdzieści dwa jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez więcej niż dwa dzielniki.

Ad.5
Odpowiedź: Liczby pierwsze, których różnica wynosi dwa nazywamy liczbami bliźniaczymi.

Ad.6
Odpowiedź: Liczby zero i jeden nie są liczbami pierwszymi, ani złożonymi.

Zadanie 3

Podkreśl wszystkie liczby, które są liczbami pierwszymi, a następnie uzupełnij poniższe luki.

12 2 3 5 45 67 88 90 100 97 34 11 33 55 69 83 99 0 23

a) Najmniejszą liczbą pierwszą z powyższej tabeli jest liczba …

b) Największą liczbą pierwszą z tabeli jest liczba …

c) Wpisz w lukę ilość liczb pierwszych znajdujących się powyżej …..

d) Liczba , która nie jest liczbą pierwszą ani złożoną to liczba …

Rozwiązanie :

12 2 3 5 45 67 88 90 100 97 34 11 33 55 69 83 99 0 23

a) Najmniejszą liczbą pierwszą z powyższej tabeli jest liczba 2

b) Największą liczbą pierwszą z tabeli jest liczba 97

c) Wpisz w lukę ilość liczb pierwszych znajdujących się powyżej osiem (8)

d) Liczba, która nie jest liczbą pierwszą ani złożoną to liczba zero.

Zadanie 4

Rozłóż na czynniki pierwsze podane liczby i podkreśl liczby pierwsze:

12 = ……
77 = ……
24 = ……
23 = ….
67 = …..
68 = …..
97 = ……
100 =…..

Rozwiązanie :

12 = 2*2*3*
77 = 7*11
24 = 2*2*2*3
23 = Jest to liczba pierwsza i nie da się jej rozłożyć na czynniki pierwsze, ponieważ dzieli się przez jeden i dwadzieścia trzy
67 = Jest to liczba pierwsza i nie da się jej rozłożyć na czynniki pierwsze, ponieważ dzieli się przez jeden i sześćdziesiąt siedem
68 = 2*2*17
97 = Jest to liczba pierwsza i nie da się jej rozłożyć na czynniki pierwsze, ponieważ dzieli się przez jeden i dziewięćdziesiąt siedem
100 =2*2*5*5

Zadanie 5

Policz i podkreśl wszystkie wyniki, które są liczbami pierwszymi.

2 + 5 = …….

3 + 2 + 6 + 9 =…….

11 * 2 + 1 = ….

23 – 5 =…..

435 – 123 =………

12 + 1 * 2 =……..

12 * 13 – 56=

Rozwiązanie :

2 + 5 = 7

3 + 2 + 6 + 9 = 20

11 * 2 + 1 = 22 + 1 = 23

23 – 5 = 18

435 – 123 – 199 = 312 – 230 = 82

12 + 1 * 2 =. 12 + 2 = 14

12 * 13 – 56 = 156 – 56 = 100

Zadanie 6

Odpowiedz na pytania i zaznacz prawdę lub, fałsz.

1) Gdy dodamy dwie różne liczby pierwsze to wynik będzie zawszę liczbą złożoną
Prawda / Fałsz

2) Suma dwóch liczb złożonych może być liczbą pierwszą
Prawda / Fałsz

3) Liczba 122 jest liczbą pierwszą
Prawda / Fałsz

4) Suma dwóch takich samych liczb będzie zawsze liczbą parzystą Prawda / Fałsz

Rozwiązanie :

1) Gdy dodamy dwie różne liczby pierwsze to wynik będzie zawszę liczbą złożoną
Prawda / Fałsz

Przykład : 2 + 3 = 5 ,

2) Suma dwóch liczb złożonych może być liczbą pierwszą
Prawda / Fałsz

Przykład : 21 + 22 = 23

3) Liczba 62 jest liczbą pierwszą
Prawda / Fałsz

Obliczenie : 6 * 6 = 36

4) Suma dwóch takich samych liczb będzie zawsze liczbą parzystą
Prawda / Fałsz

Zadanie 7

Wypisz wszystkie liczby pierwsze :

Liczby pierwsze to:

Trzy ( 3 ), dwa ( 2 ) , dwadzieścia trzy ( 23 ) , jedenaście ( 11 )

Na tym zadaniu zakończę moje opracowanie. Mam nadzieje, że moja praca Wam się spodoba. Wiem, że z wiekiem moja wiedza się powiększy .