Liczba rzeczywista

Liczba rzeczywista:
Jest to bardzo szeroki zbiór – jego elementami są wszystkie liczby. W jego skład wchodzą mniejsze podzbiory liczb. Należą do nich: zbiór liczb wymiernych oraz zbiór liczb niewymiernych. W ramach zbioru liczb wymiernych możemy określić jeszcze mniejsze podzbiory liczb, czyli zbiór liczb całkowitych oraz zawarty w nim zbiór liczb naturalnych. Przedstawię to na rysunku:

Do zapisu zbiór liczb rzeczywistych używamy symbolu „„.

Zbiór liczb naturalnych:
Najmniejszym, pokazanym na rysunku podzbiorem liczb rzeczywistych jest zbiór liczb naturalnych. Oznaczamy go używając symbolu ” „. Są to liczby najczęściej przez nas używane, na przykład kiedy mówimy komuś, by policzył do dziecięciu, wtedy ta osoba po kolei wymienia 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10. Oczywiście elementów takiego zbioru jest nieskończenie wiele i możemy definiując go użyć zapisu:
={1,2,3,4,5,…,}

Zbiór liczb całkowitych:
Możemy je zdefiniować jako liczby naturalne (ich definicję podałam powyżej) oraz liczby do nich przeciwne Przykładami takich liczb są liczby: 76 ; -21 ; 21 ; 905 ; -4603. Liczby całkowite zapisujemy używając symbolu: „„
={-,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,}

Zbiór liczb wymiernych:
Są to wszystkie liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie x i y są liczbami całkowitymi oraz oczywiście y 0. Symbolu, którego używamy opisując zbiór liczb wymiernych jest: .
={: x,y∈ y 0}
Przykładami liczb wymiernych są liczby: .
Liczba z przykładu powyżej 33 jest liczbą wymierna, ponieważ możemy przedstawić ją za pomocą ułamka w postaci lub np. . Liczbą wymierną jest też 3, ponieważ można ją zapisać jako . Co ciekawe nawet taka liczba jak jest wymierna, gdyż jest to po prostu .

Zbiór liczb niewymiernych:

Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, który definiował zbiór liczb wymiernych. Zbiór ten oznaczamy symbolem IQ lub –. Jak widać zbiór ten jest różnicą zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych.
Przykłady liczb niewymiernych:
– pierwiastki, których wynik nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego,
5-, , – sumy liczby niewymiernej i liczby wymiernej,
– liczba „pi”, której wartość w przybliżeniu wynosi
e – liczba „Eulera” – jej wartość wynosi około e 2,71828183
Jedną z ciekawostek dotyczących liczb niewymiernych jest to, że iloczyn dwóch liczb niewymiernych może byc liczba wymierną lub niewymierną np.
W tym przypadku w wyniku otrzymujemy liczbę wymierną.
W tym przykładzie wynikiem jest liczba wymierna.

Wnioski:
W zbiorze liczb rzeczywistych każda, dowolnie wybrana przez nas liczba należy do zbiory liczb wymiernych lub do zbioru liczb niewymiernych.

Zadanie:
Dla elementów zbioru V wskaż, do jakich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych (rozważając zbiory licz naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych) one nalezą. Zbiór V został zdefiniowany w następujący sposób: V={}
Odpowiedź:

jest liczbą niewymierną
– jest to liczba wymierna
0 – jest liczbą należącą do zbioru liczb całkowitych oraz wymiernych
– jest liczbą wymierną