Liczba wymierna

1.Liczby wymierne to takie, które posiadają rozwinięcie dziesiętne skończone, albo nieskończone okresowe. Można je zapisać jako iloraz , gdzie m i n są liczbami całkowitymi i n jest różne od 0.

2.Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q.
3.Każda liczba naturalna i całkowita, jest również liczbą wymierną, ale nie wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi: N Z Q.

Schemat:

(źródło: https://www.dlaucznia.pl)

4.Rozwinięcie dziesiętne skończone to takie, gdy dzielenie się kończy, np. rozwinięcie dziesiętne liczby = 0,75 , a liczby = 0,875.

5.Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe to takie, które powtarza się okresowo. Wówczas dzielenie się nie kończy, ale następne liczby powtarzają się, np. rozwinięcie dziesiętne liczby = 0,(3) [3 powtarza się nieskończenie wiele razy, dlatego zapisujemy je w nawiasie- okresie] , a liczby = 0, (714285) [dopiero 7 cyfra dzielenia się powtarza, dlatego pięć pierwszych stanowi okres, długości 6].

Przykład 1:
Udowodnij, że to liczba wymierna.
2:5 = 0,4 – > rozwinięcie dziesiętne skończone = > to liczba wymierna.

Przykład 2:
Udowodnij, że liczba jest wymierna.
1:6 = 0,16666…. = 0,1(6) – > rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe => to liczba wymierna.

Przykład 3:
Sprawdź, czy jest liczbą wymierną.

Dowód: = > 4 =
4b2 = a2
4b2 jest parzysta, więc a2również musi być parzyste, stąd wiemy, że a musi być liczbą parzystą.
Jeżeli miałby być liczbą wymierną, to liczby a i b przy rozkładzie na czynniki pierwsze nie miałyby wspólnych czynników.
W takim razie b musi być liczbą nieparzystą, bo inaczej w rozkładzie liczb a i b pojawił my się ten sam czynnik – 2.
To oznacza, że liczba 2 wystąpi w rozkładzie po prawej stronie dwa razy (4=2 ).
Skoro zaś a jest liczbą parzystą, to w rozkładzie jego kwadratu 2 wystąpi co najmniej dwukrotnie.
Ta zależność zachodzi jeśli a=2 lub -2, a b=1 lub -1.
Z tego wynika, że jak najbardziej jest liczbą wymierną.

Przykład 4:
Sprawdź, czy jest liczbą wymierną.

Dowód: = >
2b2 = a2
2b2 jest parzysta, więc a2również musi być parzyste, stąd wiemy, że a musi być liczbą parzystą.
Jeżeli miałby być liczbą wymierną, to liczby a i b przy rozkładzie na czynniki pierwsze nie miałyby wspólnych czynników. W takim razie b musi być liczbą nieparzystą, bo inaczej w rozkładzie liczb a i b pojawił my się ten sam czynnik – 2.
To oznacza, że liczba 2 wystąpi w rozkładzie po prawej stronie tylko raz, bo kwadrat b mnożymy razy 2.
Skoro zaś a jest liczbą parzystą, to w rozkładzie jego kwadratu 2 wystąpi co najmniej dwukrotnie.
Stąd wynika, że zachodzi sprzeczność, 2b2nie może być równe a2 jeśli liczba dwójek w rozkładzie nie jest taka sama.
Dlatego nie jest liczbą wymierną.

6.Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej:
Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej, należy podzielić licznik ułamka przez mianownik (patrz przykład 1 i 2).
Również mając podane jedynie rozwinięcie dziesiętne możemy zapisać liczbę w postaci ułamka.

Przykład 5:
Rozwinięcie dziesiętne liczby a wynosi 0,(12). Przedstaw a w postaci ułamka zwykłego.
a = 0,(12) = 0,1212…

Mnożymy a razy sto tak, aby pierwsze dwa wyrazy okresu znalazły się przed przecinkiem:
100a = 12,121212…

Teraz można zauważyć, że 100a = 12 + 0,121212 czyli 12 + 0,(12). Ponieważ 0,(12) to nasze a zapisujemy:
100a = 12 + a

Teraz wystarczy zredukować wyrażenia podobne i wyznaczyć „a”:
99a = 12
a = – > I to jest nasza odpowiedź.

Przykład 6:
Przedstaw liczbę 1,125 w postaci ułamka zwykłego.
1,125 = 1 = 1 = – > I to jest nasza odpowiedź.

7.Działania na liczbach wymiernych:
-> dodawanie liczb wymiernych: , dla b i d różnego od zera;

-> odejmowanie liczb wymiernych: , dla b i d różnego od zera;

-> mnożenie liczb wymiernych: = , dla b i d różnego od zera;

-> dzielenie liczb wymiernych: : = , dla b, c i d różnego od zera;

Przykład 7:
Oblicz. Wyciągnij całości jeśli to możliwe.

a) 3 + 1 = + = = = = 4

b) 3 – 1 = – = = = = 1

c) 3 1 = = = = = 5

d) 3 : 1 = : = = = = 2

Przykład 8:
Oblicz wartość podanego wyrażenia dla a = , b = i c = .
Wyrażenie: – c.

Zgodnie z kolejnością wykonywania działań najpierw wykonujemy działanie w nawiasie, tzn. dodajemy „a” i „b” :

(a + b) = + = = = = .

Potem należy pomnożyć „a” i „c”:

a c = = = .

Następnie zapisujemy w postaci:

– = – .

Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości mianownika:
4c = 4 = = = .

Przekształcamy wyrażenie do postaci:
– .

= = .

Liczymy różnice tych dwóch ułamków, aby poznać wynik całego wyrażenia:

– = = = – > i to jest wynik całego wyrażenia.

Mam nadzieję, że pomogłam Ci zrozumieć ten temat. Myślę, że sprawdzanie czy dana liczba jest wymierna czy niewymierna, działania na liczbach wymiernych i zapisywanie ułamków w postaci dziesiętnej i w postaci ułamka zwykłego nie jest już dla Ciebie takie trudne.
Poniżej przedstawiam kilka podstawowych zadań do tego tematu z rozwiązaniami, które utrwalą wiadomości zdobyte podczas korzystania z tego opracowania. Zapraszam do ich wykonania.

Zadanie 1:
Sprawdź, czy jest liczbą wymierną.

Zadanie 2:
Uporządkuj liczby a, b i c w kolejności rosnącej, wiedząc, że:
a = + (- – );

b = -3 : 5 ;

c = 1,5 2,75 (- 1 ) ;

Zadanie 3:
Rozwinięcie dziesiętne liczby a wynosi 0,8(3). Przedstaw a w postaci ułamka zwykłego.

Zadanie 4:
Przedstaw liczbę 1,125 w postaci ułamka zwykłego.

Zadanie 5:
Zapisz ułamek w postaci rozwinięcia dziesiętnego okresowego.

Zadanie 6:
Sprawdź czy liczba 3 jest liczbą wymierną. Jeżeli jest, to zapisz jej rozwinięcie dziesiętne i określ czy jest skończone czy nieskończone okresowe.

Rozwiązania:

Zadanie 1:
Dowód: = = > 3 =
3b2 = a2
Jeżeli miałby być liczbą wymierną, to liczby a i b przy rozkładzie na czynniki pierwsze nie miałyby wspólnych czynników. Po lewej stronie liczba trójek jest zawsze nieparzysta (bo jeśli znajduje się x trójek w rozkładzie liczby b, to zawsze przy podniesieniu do kwadratu występuje co najmniej dwa razy (b b) i daje wielokrotność dwójki czyli liczbę parzystą, a jeśli dodamy do nich 3 sprzed wyrażenia, to liczba trójek będzie zawsze nieparzysta.).
Po prawej stronie zaś liczba trójek zawsze jest parzysta (bo jeśli znajduje się y trójek w rozkładzie liczby a, to zawsze przy podniesieniu do kwadratu występuje co najmniej dwa razy i daje wielokrotność dwójki czyli liczbę parzystą)

Stąd wynika, że zachodzi sprzeczność, 3b2nie może być równe a2 jeżeli liczba trójek w rozkładzie nie jest taka sama.
Dlatego nie jest liczbą wymierną.

Zadanie 2:
a = – 1
b = –
c = – 12
c < a < b Zadanie 3:
a= 0,8(3)
10a = 8,(3)
9a = 7,5
18a= 15

a= =

Zadanie 4:
1,125 = 1

Zadanie 5:
4:3 = 1, (3)

Zadanie 6:
3 = 3 = 3, (142857) , liczba 3 jest liczbą wymierną, ponieważ posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.