Liczby pierwsze do 100

Liczby pierwsze, to takie liczby naturalne (całkowite i dodatnie) większe od 1, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne: samą siebie i 1.

Liczby pierwsze mniejsze od 100 to:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

W powyżej podanych liczbach brakuje między innymi liczb 6 czy 24. Dzieje się to dlatego, że liczby te mają więcej dzielników niż 1 i samą siebie. Liczba 6 ma dzielniki 1, 2, 3 i 6, z kolei liczba 24 ma dzielniki 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24. Liczby te nie dzielą się więc jedynie przez samą siebie oraz 1, ale również przez inne cyfry, co zaś sprawia, że nie są one liczbami pierwszymi. Liczby takie jak 6 czy 24 nazywa się więc liczbami złożonymi.

W ten sam sposób można sprawdzić, czy inne wyżej podane liczby nie są liczbami pierwszymi:
65 dzieli się przez 1, 5, 13 i 65. Liczba ta ma więc więcej niż 2 dzielniki.

44 dzieli się przez 1, 2, 4, 11, 22 i 44. Liczba ta ma więcej niż 2 dzielniki.

9 dzieli się przez 1, 3 i 9. Nie jest więc ona liczbą pierwszą.

Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą?
Z definicji liczby pierwszej wynika, że liczba pierwsza musi być naturalna, większa od 1 i posiadająca dokładnie 2 dzielniki: 1 oraz samą siebie. 1 jest liczbą naturalną, ale nie jest większa od 1. Liczba 1 ma tylko jeden dzielnik naturalny.

Pośród liczb pierwszych możliwe jest wskazanie liczb bliźniaczych – liczb, których różnica wynosi 2. Przykłady takich liczb to:

41 i 43,
59 i 61,
71 i 73.

Wśród liczb pierwszych można również wskazać liczby pierwsze lustrzane, czyli pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje dzięki zapisaniu cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady takich liczb to:

13 i 31,
79 i 97.

Wyznaczanie liczb pierwszych

Sito Eratostenesa to najpopularniejszy algorytm wyznaczania liczb pierwszych. Polega on na:
Wybraniu ze zbioru liczb naturalnych z przedziału [2, n] najmniejszą liczbę 2 i usunięciu wszystkich większych od niej samej wielokrotności;
Wybraniu z pozostałych liczb najmniejszej niewykreślonej liczby (czyli 3) i wykreśleniu wszystkich jej wielokrotności większych od niej samej;
Powtarzaniu wykreślania, dopóki liczba, której wielokrotność jest wykreślana będzie większa od pierwiastka z liczby n. Wtedy wszystkie pozostałe liczby w przedziale [2, n] będą liczbami pierwszymi.

Liczby pierwsze są stosowane w różnych znanych algorytmach kryptograficznych, np. RSA (Algorytm Rivesta-Shamira-Adlemana).

Ciekawostki o liczbach pierwszych:

Nie tylko liczba 73939133 jest liczbą pierwszą. Liczbami pierwszymi są również liczby, które powstają po usuwaniu kolejnych cyfr z prawej strony tej liczby:
7393913
739391
73939
7393
739
73
7.

Liczba złożona z pierwszych 38 cyfr liczby pi jest liczbą pierwszą.

Liczba, na którą składają się dwadzieścia trzy jedynki jest liczbą pierwszą.

Pierwsza lista liczb pierwszych mniejszych od dziesięciu milionów została opublikowana przez amerykańskiego matematyka Derricka Normana Lehmera w 1914 roku. Lista ta zawierała dokładnie 664579 liczb pierwszych i została stworzona za pomocą sita Eratostenesa.