Liczby przeciwne

Liczby przeciwne

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się co to są liczby przeciwne oraz czym się charakteryzują. Nauczysz się także wyznaczania liczb przeciwnych do podanych liczb rzeczywistych na wielu przykładach.

Liczby przeciwne:
W matematyce każda liczba rzeczywista ma swoją liczbę przeciwną. Pary takich liczb (wzajemnie do siebie przeciwnych) po dodaniu do siebie dają wynik 0, czyli:
x + y = 0
gdzie:
– „x” to dowolna liczba rzeczywista,
– „y” to liczba przeciwna do liczby „x”.
Przykładowo: liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba (- 3), ponieważ liczby te po dodaniu do siebie dadzą nam zero (3 + (- 3) = 0).
Pary liczb do siebie przeciwnych można także definiować jako liczby znajdujące się w tej samej odległości od zera na osi liczbowej. Przykładowo chcąc znaleźć liczbę przeciwną do (-5) rysujemy oś liczbową:

Teraz możemy łatwo zauważyć, że liczbą przeciwną do (-5) jest liczba 5, ponieważ obie te liczby znajdują się w takiej samej odległości od zera na osi liczbowej (tj. w odległości „pięciu jednostek” od zera):

Ogólnie i najprościej rzecz ujmując liczby przeciwne tworzy się przez zmienienie znaku danej liczby rzeczywistej, np. szukając liczby przeciwnej do 1,5 wystarczy zmienić znak tej liczby z plusa na minus, czyli liczbą przeciwną do 1,5 jest liczba (-1,5). Inny przykład: jeśli chcemy znaleźć liczbę przeciwną do (-6) wystarczy zmienić znak tej liczby (w tym przypadku z minusa na plus), czyli liczbą przeciwną do (-6) jest liczba 6.
Przećwiczmy teraz wyznaczanie liczb przeciwnych na poniższych przykładach.

Przykłady:
Znajdź liczbę przeciwną do liczby:
a) 4
b) (-3,7)
c) 0
d)
e)

a) Mamy podaną liczbę 4 i musimy znaleźć liczbę do niej przeciwną. Aby to zrobić wystarczy zmienić znak tej liczby z plusa na minus. W ten sposób otrzymamy liczbę (-4).
A zatem liczbą przeciwną do 4 jest liczba (-4).

b) Mamy podaną liczbę (-3,7) i musimy znaleźć liczbę do niej przeciwną. Aby to zrobić wystarczy zmienić znak tej liczby z minusa na plus. W ten sposób otrzymamy liczbę 3,7.
A zatem liczbą przeciwną do (-3,7) jest liczba 3,7.

c) Mamy podaną liczbę 0 i musimy znaleźć liczbę do niej przeciwną. Tym razem jest to o tyle trudne, że liczba zero nie ma znaku (zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne). Aby wyznaczyć liczbę przeciwną do 0 korzystamy z tego, że suma liczb do siebie przeciwnych daje nam w wyniku zero, czyli:
0 + x = 0 (gdzie „x” to szukana liczba przeciwna do liczby 0)
Zastanawiamy się jaka liczba („x”) po dodaniu do niej zera da nam w wyniku zero. Jest to oczywiście liczba 0 (bo 0 + 0 = 0).
A zatem liczbą przeciwną do liczby 0 jest liczba 0.
(zero to jedyna liczba, której liczbą przeciwną jest ona sama).

d) Mamy podaną liczbę . Aby znaleźć liczbę do niej przeciwną wystarczy zmienić znak tej liczby z plusa na minus. W ten sposób otrzymamy liczbę .
A zatem liczbą przeciwną do jest liczba .

e) Mamy podaną liczbę określoną wyrażeniem: . Aby znaleźć liczbę do niej przeciwną musimy najpierw uprościć podane wyrażenie (pamiętając o kolejności wykonywania działań):
= = = = .
Po uproszczeniu wyrażenia otrzymaliśmy 13, a zatem szukamy liczby przeciwnej do liczby 13. Aby ją znaleźć wystarczy zmienić znak liczby 13 z plusa na minus. W ten sposób otrzymamy liczbę (-13)
A zatem liczbą przeciwną do () jest liczba (-13).
(Czy też liczbą przeciwną do 13 jest liczba (-13)).

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to są liczby przeciwne oraz czym się charakteryzują. Nauczyłeś się także wyznaczania liczb przeciwnych do podanych liczb rzeczywistych na wielu przykładach.