Opracowanie:
Liczby przestępne

Liczby przestępne

Zweryfikowane

Liczby przestępne

Definicja:

Liczba przestępna – liczba ogólniej zespolona lub rzeczywista niebędąca liczbą algebraiczną. Ich istnienie udowodnił Joseph Liouville (francuski matematyk) w 1844 roku.

{displaystyle forall _{nin mathbb {N^{+}} } forall _{(a_{n},a_{n-1},dots ,a_{1},a_{0})in mathbb {Q} ^{n+1}}a_{n}neq 0implies a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+dots +a_{1}z+a_{0}neq 0.}

Każda liczba przestępna jest liczbą niewymierną, gdyż liczby wymierne są pierwiastkami pewnych wielomianów o współczynnikach wymiernych stopnia 1. Istnieją też liczby niewymierne, które nie są przestępne.

Własności algebraiczne:

Jeżeli p jest liczbą przestępną , a ci są algebraiczne to wynik {displaystyle sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}} jest przestępny
Jeżeli p jest liczbą przestępną, to pw, gdzie {displaystyle win mathbb {Q} ,;wneq 0} także jest przestępne

Własności mnogościowe:

Zbiór zawierający wszystkie liczby przestępne jest zbiorem mocy continuum (oznaczany najczęściej literą c).
Dowód: zbiór wszystkich wielomianów, które mają współczynniki wymierne, jest zbiorem przeliczalnym

Zbiór liczb przestępnych, które są rzeczywiste, jest gęsty (zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią) w zbiorze liczb rzeczywistych. W dodatku w każdym przedziale otwartym liczb rzeczywistych jest niepoliczalnie wiele liczb przestępnych.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top