Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste

Do liczb naturalnych zaliczamy liczby: naturalne, całkowite, oraz ułamki. Można zatem powiedzieć, że do zbioru liczb rzeczywistych zaliczamy wszystkie liczby. Taka wiedza, może się przydać przy rozwiązywaniu zadań na poziomie podstawowym jak i rozszerzonych. Również w wyznaczaniu dziedziny, gdzie dziedziną (zbiór x) może być cały zbiór liczb rzeczywistych. Warto również przypomnieć są czym są pozostałe liczby :
– naturalne , ten zbiór tworzą liczby dodatnie, parzyste(podzielne przez 2) oraz nieparzyste ( nie podzielne przez dwa) np. 1,2,3,4.
-całkowite, to takie których nie zapiszemy w postaci ułamka np. 11, 88, 926.
-ułamki, liczby które zapiszemy za pomocą licznika i mianownika np. .
Może też przydać nam się wiedza na temat liczb odwrotnych i przeciwnych oraz jaka jest miedzy nimi różnica?
Liczba przeciwna, to liczba której znak jest przeciwny do drugiej, np. liczbą przeciwną do 2 jest -2, do -10 jest 10. Natomiast jeżeli chodzi o liczbę odwrotną, to zmienia się tutaj licznik z mianownikiem, np. liczbą odwrotną do 2 jest , jest czyli

Jeżeli chodzi o zadania z liczbami rzeczywistymi, to są one z różnych dziedzin poniżej przedstawię jak rozwiązać, niektóre z nich:

Wartości jakiej liczby, jest równa wartości liczby a= ?

Musimy zacząć od zamiany 16 i pierwiastka na taką samą liczbę, podniesioną do pewnej potęgi. W tym przypadku zamienimy na potęgę liczby 2. 16= oraz -> następnie musimy pomnożyć obie liczby, czyli jak wiemy z własności działań na potęgach w takiej sytuacji 2 zostawiamy bez zmian i tylko dodaje potęgi. Czyli ostateczną odpowiedzią będzie .

2.Dane są przedziały A=⟨−2,4)iB=(3,5⟩. Liczba 4:

A.należy tylko do przedziałuA
B.należy do obu przedziałów
C.należy tylko do przedziałuB
D.nie należy do żadnego przedziału

Najpierw możemy narysować sobie oś, na której zaznaczymy oba przedziały:

jak widać mamy tutaj dwa przedziały, które pokrywają się w przedziale (3,4). Gdy mamy zamalowane kółeczko(przez nawias ostry), to liczba należy do przedziały, lecz gdy nawias jest okrągły, to liczba nie należy i zaznaczamy kółko otwarte. Z wykresu powyżej możemy zauważyć, że 4 nie należy do przedziału A (czarny przedział), lecz należy do przedziału B (zaznaczonego na czerwono).

3.Jaka jest największa liczba naturalna spełniająca nierówność n<2π−1 ?

Zaczniemy od sprawdzenia wartości π – która wynosi 3,14 w przybliżeniu -> powiększona dwa razy wynosi 6,28 a po odjęciu 1 zostaje nam 5,28 . Zatem n<5,28 , więc najmniejszą liczbą naturalna jest liczba równa 5.

4.Ile jest równa liczba ?

Przy tym zadaniu będziemy musieli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)
Zatem będziemy mieć:

przy tym zadaniu ważne są znaki a w szczególności minus przed nawiasem, który zmienia znak przy każdej liczbie. Odp: Ta liczba wynosi -13.

5.Reszta z dzielenia liczby 55 przez 8 jest równa:
A.4. B.5 C.6 D.7

Zaczniemy od sprawdzenia ile pełnych 8 mieści się nam w 55 – mieści się ich 6, 6*8=48
Aby otrzymać liczbę 55, do 48 musimy dodać 7. 6*8+7=55. Odp.: Reszta z dzielenia 55 przez 8 wynosi 7 – odp D.

6.Jeśli a= i b=2, to wartość wyrażenia jest równa…?

Na początku musimy podstawić te liczby do wzoru:
-> teraz możemy skrócić w liczniku dwójki i zostanie nam trzy natomiast w mianowniku musimy liczby sprowadzić do wspólnego mianownika i otrzymujemy:
gdy doprowadzimy do takiej postaci, musimy pamiętać, że gdy dzielimy ułamki to oznacza mnożenie przez odwrotność liczby w mianowniku a więc mamy:
. Odp.: Liczba jest ostateczną odpowiedzią.

7.Liczbą odwrotną do liczby jest …?

Zaczniemy od zamiany na ułamki niewłaściwe : -> teraz zamieniamy nasz ułamek !MUSIMY PAMIĘTAĆ, ŻE GDY MAMY UŁAMEK NIEPARZYSTEGO STOPNIA MUSIMY ZWRÓCIĆ UWAGĘ NA ZNAK! w naszym przypadku pierwiastek będzie wynosił -2, ponieważ -2*-2*-2 = -8 czyli inaczej (-2) . Jeszcze raz zapisujemy nasze działanie:
teraz zgodnie z kolejnością obliczeń zaczynamy od wymnożenia a dopiero później odejmujemy. ( przy mnozeniu zmieni nam się znak gdyż minus razy minus daje nam plus)
teraz musimy jeszcze uzyskać odwrotność danej liczby więc zamieniamy jego licznik z mianownikiem i wynosi .
Odp. Odwrotność danej liczby wynosi .

8.Równość dla a równego … ?

W tym zadaniu musimy zacząć od sprowadzenia do wspólnego mianownika. Pierwszy ułamek mnożymy razy 5 (górę i dół) a drugie przez 4 (również górę i dół), natomiast trzeci ułamek zostawiamy bez zmian. Jedynkę zmieniamy na ułamek .
-> teraz liczby przenosimy na jedna stronę a niewiadome na drugą
-> teraz mnożymy przez a
następnie dzielimy obie strony przez , czyli mnożymy przed odwrotność.
możemy również wyciągnąć całość przed i mamy

9.Ile jest równa wartość wyrażenia |5−2|+|1−6|?

Przy zadaniach z wartością bezwzględną musimy przypomnieć sobie, czym ona właściwie jest? Wartość bezwzględna to inaczej odległość danej liczby od zera na osi liczbowej i zapisujemy ją w dwóch linowych kreskach, czyli |-5|=5 oraz |5|=5

Wracając do naszego zadania – obliczamy działania, które znajdują się pod wartością bezwzględną, na razie bez opuszczania jej:
|3|+|-5|
teraz możemy opuścić wartość bezwzględną, lecz |-5| zamienimy na 5 :
3+5=8
W ten sposób otrzymujemy wynik równy 8.

10.Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x?

A.
B. |-x|=x
C. |x-1| = x – 1
D.

Musimy zacząć od rozwiązania każdej odpowiedzi z podanych powyżej.
Zaczynamy od podpunktu A – za x wstawmy np. x= -8 -> , -8 nie równa się 8, więc ta opcja odpada.
Teraz sprawdzamy odpowiedź B – dla x=-3, teraz podstawiamy za x: |-(-3)|=-3 -> |3|=-3 !równanie jest sprzeczne, gdyż wartość bezwzględna nie może być równa liczbie na minusie.
W podpunkcie C, za x również podstawimy liczbę równą -3 i otrzymujemy |-3-1|=-3-1 -> |-4|=-4 -> 4=-4, a więc prawa strona nie równa się lewej, ponieważ wartość po opuszczeniu wartości bezwzględnej zawsze jest dodatnia.
Zostaje nam podpunkt D za x wstawimy ponownie -3 -> -> , co oznacza że lewa strona równa się prawej stronie, ponieważ gdy na potęge nakładamy pierwiastek to zmienia się. nam to w wartość bezwzględna czyli |-2|=|-2| . Dla pewności możemy to jeszcze sprawdzić z liczbą x=3 -> -> co oznacza, że Prawa=Lewej bo |4|=|4|.

Odpowiedź.: Równość spełnia liczba w podpunkcie D.

11.Ile jest równe wyrażenie (3x+1+y) ?

Niestety w kartach wzorów nie znajdziemy takiego wzoru skróconego mnożenia, lecz możemy to rozpisać jako (3x+1+y)(3x+1+y) i teraz wymnażamy każdą liczbę przez kolejną czyli -> 3x*3x + 3x*1 + 3x*y + 1*3x + 1*1 + 1*y + y*3x + y*1 + y*y = 9x + 3x + 3xy + 3x + 1 + y + 3xy + y + y = (teraz porządkujemy) =9x + y + 6xy + 6x + 2y + 1 <- i jest to nasza odpowiedź.

Przy każdym zadaniu tego typu musimy pamiętać o tym, że gdy potęgujemy jakąś liczbę lub wyrażenie to oznacza ze mnożymy ją przez siebie tyle razy ile wynosi potęga np. wyrażenie podniesione do potęgi trzeciej – (x+1+y) rozpiszemy jako ->
(x+1+y)*(x+1+y)*(x+1+y) -> i teraz musielibyśmy wymnożyć nawias pierwszy przez drugi i to co uzyskamy wymnożyć przez nasz trzeci nawias. Tak będziemy postępować z każdym tego typem zadań.

12.Ile jest równa reszta z dzielenia liczby 55 przez 8?

Musimy sprawdzić ile całych 8 mieści się liczbie 55 -> 8*6=48 i aby uzyskać 55 musimy dodać jeszcze 7
Zatem reszta z dzielenia liczby 55 przez 8 będzie wynosić 7.

Możemy również trafić na zadanie na dowodzenie:
13.Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność .

Zaczniemy od zapisania tezy: a b

Następnie piszemy założenie:

Teraz zapisujemy dowód:
I tutaj przechodzimy do obliczenia. Zaczniemy od rozpisania pierwszego ułamka u góry ze wzoru skróconego mnożenia w liczniku a w mianowniku wyniku spotęgowania liczby 2 otrzymamy 4 -> teraz musimy pomnożyć obie strony przez 4 aby pozbyć się ułamków. W pierwszym 4 skróci nam się z mianownikiem, natomiast w drugim będziemy musieli pomnożyć wszystko co jest w nawiasie przez 2 gdyż mianownik równy dwa skrócimy przez dwa ->
-> -> teraz przerzucamy wszystko na jedną stronę i otrzymujemy:
zatem możemy to zwinąć do wzoru skróconego mnożenia zapisujemy c.n.d (co należało dowieść) i dodajemy komentarz słowny: liczba podniesiona do potęgi parzystej zawsze będzie większa, bądź równa zero.

! Musimy pamiętać, że nie można by było zastosować tego patentu w zadaniu z potęgowaniem do potęgi nieparzystej, gdyż może nam wyjść liczba ujemna np. (-3) =-27 !

-w zadaniach z dowodem gdy musimy udowodnić ze jakaś liczba jest większa od drugiej polecałabym zacząć od znalezienia pewnych zależności oraz szukania możliwości użycia wzorów skróconego mnożenia, gdyż dzięki nim będzie można zakończyć dowód i zapisać tak jak powyżej ze ( ) jest zawsze większa bądź równa zero.

Kolejne zadanie na dowodzenie:
14.Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k przez 7 jest równa 5.
Znowu zaczynamy od tezy(czyli danych które mamy podane w zadaniu): k
Następnie założenie: k=7m+2 ( zapisujemy liczbę k jako iloczyn jakieś liczby razy 7 i dodajemy resztę dwa)
Dowód: skoro k=7m+2 , to 3k = (teraz podstawiamy nasze k, które mamy zapisane u góry) = 3(7m+2) = 3(49m + 28m + 4)
Teraz mnożymy przez 3 -> 3k = 147m +84m + 12 , teraz musimy wrócić do treści zadania i zauważamy, że nasza liczba miała dawać resztę 5, gdy jest podzielna przez 7, zatem ostatnią liczbę rozdzielimy na 12 = 7 + 5(reszta) a reszte , która nam zostanie musimy podzielić przez 7, czyli inaczej wystawić 7 przed nawias, gdyż to będzie oznaczało, że liczba jest podzielna przez 7 i daje resztę wtedy 5:
7(21n + 12n + 1) +5
Dopisujemy oczywiście c.n.d i dodajemy komentarz słowny, w którym uzasadnimy nasze postępowanie.

Teraz czas na zadania z procentami:
15.Ile wynosi liczba c, jeżeli liczba 78 jest o 50% od niej większa?
Zaczniemy od zapisania danych: 78 = 150%c układamy proporcje
150% – 78
100% – c
teraz mnożymy na krzyż i otrzymujemy: 150%c=7800% /dzielimy obustronnie przez 150% i otrzymujemy:
c=52
Odpowiedź.: Liczba c wynosi 52.

16.Sukienka kosztowała 85 złotych, jej cenę obniżono o 20% a potem jeszcze o 10%, natomiast tak dobrze zaczęła się sprzedawać, że podnieśli jej cenę o 15%. Ile kosztowała sukienka ostatecznie oraz po drugiej obniżce ?

W tym zadaniu musimy zwrócić szczególną uwagę na to, że po każdej obniżce cena naszej sukienki się zmienia.

Zaczynamy od 1 obniżki:
-> zapisujemy to w takiej postaci gdyż mnożymy cenę początkową produktu, razy procent (od 100% odejmujemy 20% czyli naszą obniżkę więc produkt będzie kosztował 80% ceny początkowej).
otrzymujemy 68zl – cena po 1 obniżce

Następnie tą cenę obniżamy o 10% więc zapisujemy:
=61,2 – cena po drugiej obniżce
Teraz chcemy podnieść cenę sukienki o 15% a więc będziemy mnożyć przez 115%:
<- cena po podwyżce
Odpowiedź: Ostateczna cena sukienki wynosiła 70,38zł , natomiast po drugiej obniżce wynosiła 61,2 zł.

W zadaniach z obniżkami/ podwyżkami ważne jest aby obliczać wszystkie po kolei i najlepiej zapisywać sobie wyniki, które otrzymujemy. Dzięki temu łatwiej będzie połapał się w kolejności podnoszenia/obniżania cen. Najgorszy i dość często błędem jest dodawanie do siebie procentów wszystkich obniżek/podwyżek, obrazując na podstawie zadania powyżej niektórzy rozpisują jako : 100%-20%-10%+15%=75% JEST TO BŁĘDNY ZAPIS I POD ŻADNYM POZOREM NIE WOLNO TAK ROBIĆ!